一個初等不等式的研究一個初等不等式的研究

王琛 劉曉波

【摘要】本文通過對一個初等不等式x3+y3+z3≥3xyz(x,y,z∈R+)進行研究，得到若干推廣形式及一些應用，文中還留下了幾個猜想。

【關鍵詞】不等式；推廣；應用；猜想

不等式x3+y3+z3≥3xyz,①x,y,z∈R+是中學里一個簡單且常見的不等式！

然而它的內涵與外延是如此的豐富，似乎出乎我們的意料之外。本文將給出此不等式的若干推廣形式及一些應用，并提出幾個猜想。

一、不等式的證明

不等式①的證明似乎不難，左-右=12(x+y+z)［(x-y)2+(y-z)2-(z-x)2］≥0即得。

有意義的是由此證明以及經過簡單的代數變形，我們可以給出一些有趣的推廣及應用。

二、不等式的推廣

以下我們給出幾個命題，題中條件均為x,y,z∈R+。

命題一 (a)x3+y3+z3≥3xyz+z(x-y)2+x(y-z)2+y(z-x)2。

②

(b)xyz≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

③

命題二 (a)x3+y3+z3≥3xyz+x+m2(y-z)2+y+m2(z-x)2+z+m2(x-y)2。(其中m=min{x,y,z})

④

(b)xyz-m2［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

⑤

命題三 (a)27x2y2z2(x+y+z)3≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

⑥

(b)x2y2z227(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。

⑦

不等式③展開后整理即得②，展開后知不等式④與⑤也是等價形式，④顯然強于②。

下面證明不等式④，不妨設x≥y≥z,則m=z。

左?右=12（x+y+z)［(x-y)2+（y-z)2+(z-x)2］-x+z2(y-z)2-y+z2(z-x)2-z+z2(x-y)2=12(y-x)(y-z)2+12(x-y)(z-x)2+12(x+y-2z)(x-y)2=12(x-y)［(z-x)2-(y-z)2］+12(x+y-2z)(x-y)2?！?z-x)2≥(y-z)2,x-y≥0,x+y-2z≥0,即得左-右≥0，得證。

命題三的證明：

(a)不妨設x≥y≥z,若y+z≤x顯然成立，以下考慮y+z>x。

證法一 將半角公式cosA2=12 (x+y+z)(y+z-x)yz，

cosB2=12(x+y+z)(z+x-y)zx

cosC2=12(x+y+z)(x+y-z)xy，

代入三角不等式cosA2cosB2cosC2≤338整理即得不等式⑥。

證法二 展開③右端得xyz≥x(y2+z2-x2)+y(z2+x2-y2)+z(x2+y2-z2)-2xyz。

兩邊加上6xyz整理即得

9xyzx+y+z≥x(y+z-x)+y(z+x-y)+z(x+y-z)。

由平均值不等式知，

右端≥33xyz(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) 。

兩邊立方后整理即得。

(b)展開⑥式右端得27x2y2z2(x+y+z)3≥x(y2+z2-x2)+y(z2+x2-y2)+z(x2+y2-z2)-2xyz。

兩邊加8xyz整理得27x2y2z2(x+y+z)4+8xyzx+y+z≥x(y+z-x)+y(z+x-y)+z(x+y-z)。

此式右端≥33xyz(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)。

兩邊立方整理即得⑦。

注記：由此證法事實上我們可以得到不等式③的一個無窮的加強不等式鏈。

如x2y2z227(x+y+z)3xyz27(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)等等，很有規律性。

三、不等式的應用和猜想

例 當x,y,z為三角形三邊時，不等式③代入海倫公式整理即得3xyz(x+y+z)≥43Δ。

⑧

另外我們熟知x2+y2+z2≥43Δ。

⑨

由于x2+y2+z2≥13(x+y+z)2且x+y+z≥3 3zxy知不等式⑧強于⑨。