例析數(shù)形結(jié)合之法

林峰

摘要：數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。用例題來(lái)分析數(shù)形結(jié)合在解題中的巧妙運(yùn)用，讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的存在，并自然地使用數(shù)形結(jié)合的方法解題。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合；解題；方法

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)這棟大廈的兩個(gè)基石，二者是一對(duì)密不可分的矛盾體。每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過(guò)圖形的直觀性作出形象的描述。正如美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩也曾說(shuō)過(guò)：“如果一個(gè)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法。”數(shù)形結(jié)合的實(shí)現(xiàn)，常與以下方面有關(guān)：數(shù)與坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)和圖像的相關(guān)聯(lián)系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的如圓、不等式等概念；含有明顯的幾何意義的等式或代數(shù)式；方程與曲線的相關(guān)聯(lián)系。

在解題時(shí)，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形有意識(shí)地結(jié)合起來(lái)，根據(jù)問(wèn)題的特征、特點(diǎn), 或借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，巧妙利用兩者的“結(jié)合”，找到解題思路，使問(wèn)題得以解決。

“數(shù)形結(jié)合”思想是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面。本文試從“以形助數(shù)” 方面，舉例說(shuō)明其在解決問(wèn)題中的一些妙用。

一、利用直線斜率的幾何意義巧妙解題

例1：已知方程x2+y2+4x-6y+12=0，求的值域。

解析：方程x2+y2+4x-6y+12=0表示以(-2,3)為圓心,以1為半徑的圓。的幾何意義是求已知圓上的點(diǎn)與點(diǎn)M(1,-1)連線所在直線的斜率的大小,而最值就是兩條切線所在直線的斜率值。那么，利用數(shù)形結(jié)合就很快求出答案來(lái)。

解：如圖1，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1，-1)的直線方程L為y+1=k(x-1)，即kx-y-k-1=0。圓心（-2，3）到直線L的距離等于1，可得d==1，k1=，k2=。即的值域是[，]。

二、利用兩點(diǎn)間距離公式巧妙解題

例2：已知方程x2+y2+4x-6y+12=0。求：（1）x2+y2的值域，（2）（x-2）2+（y-1)2的值域。

解析：x2+y2的幾何意義是求已知圓上的點(diǎn)與圓點(diǎn)的距離的平方。（x-2）2+（y-1)2的幾何意義，是求已知圓上的點(diǎn)與點(diǎn)M(2,1)的距離的平方。

解：如圖2, x2+y2的最大值是|OB|2=（-2）2+32+1=14，x2+y2的最小值是|OA|2=（-2）2+32-1=12，（x-2）2+（y-1)2的最大值是|OD|2=（-2-2）2+（3-1）2+1=21，（x-2）2+（y-1)2的最大值是|OC|2=（-2-2）2+（3-1）2-1=19，所以x2+y2的值域是[12，14]， （x-2）2+（y-1)2的值域是[19，21]。

例3：求函數(shù)y=+的值域。

分析：考察函數(shù)式的特點(diǎn)，學(xué)生從代數(shù)的角度去求解，發(fā)現(xiàn)此路非常煩瑣。這時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)式背后的幾何背景，利用數(shù)形結(jié)合思想，巧用兩點(diǎn)間距離公式來(lái)入手求解。

解：函數(shù)式可化為+＝+。

如圖3,令A(yù)（-1，1），B（2，3），M（x，0），把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在X軸上一點(diǎn)M，求｜MA｜+｜MB｜的值域。如圖3，AB兩點(diǎn)在X軸同一側(cè)，故取A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)C(-1,-1)，故（｜MA｜+｜MB｜）最小值=|CB|==5,函數(shù)y=+的值域是[5，+∞]。

三、利用直線截距的幾何意義巧妙解題

例4： 已知方程x2+y2+4x-6y+12=0，求Z=2x+y的值域。

分析：把Z=2x+y看成y=-2x+Z，Z是直線y=-2x+Z在y軸上的截距。

解：如圖4利用數(shù)形結(jié)合可知，圓心(-2，3)到切線y=-2x+Z的距離為半徑1,即=1,得Z的最大值為-1，Z的最小值為--1，所以Z的值域是[--1，-1]。

例5：求函數(shù)m=+的值域

分析：由于根號(hào)內(nèi)同為n的一次式，若只做簡(jiǎn)單換元，也無(wú)法轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求值域；倘若對(duì)式子進(jìn)行平方處理，將會(huì)把問(wèn)題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得非常困難。考慮采用兩步換元，利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)求解。

解：如圖5，設(shè)x=≥0，y=≥0，則m=x+y,由于x2+3y2=9，因此m是直線y=-x+m與橢圓x2+3y2=9在第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)時(shí)在y軸上的截距，可得M的最小值為，直線與橢圓相切于第一象限時(shí)，m取最大值y=-x+mx2+3y2=9，消元得4x2-6mx+3m2-9=0，令△=0得m的最大值為2。所以m的值域是[，2]。

從以上幾題可以發(fā)現(xiàn) ，數(shù)形之間的巧妙轉(zhuǎn)換是利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵之一。利用“數(shù)”與“形”的巧妙轉(zhuǎn)換，把代數(shù)式的精準(zhǔn)刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，體現(xiàn)抽象思維和形象思維的有機(jī)統(tǒng)一。只有做到胸中有數(shù)，腦內(nèi)有形，才能做到以數(shù)促形，以形助數(shù)，充分發(fā)揮圖形在解題中的作用，一定能找到別樣的精彩。

（韶關(guān)市中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）