“直線分餅”問題的再思考

岳凱

本文介紹“直線分餅”問題，探討該問題更深層次的意義。

一、提出問題

“一個圓餅，切1刀最多可將其分成2份；切2刀,最多可將其分成4份；切3刀,最多可將其分成7份。經過6次這樣的切割，最多可將其分成多少份？”這個有趣的問題就是“直線分餅”問題。筆者在一本書上，看到給出的答案如下。

認真數一數，可知切6刀最多可將其分成22份。然而，隨著所切刀數的增加，問題的情形變得越來越復雜，使我們難以逐刀去數，顯然用作圖的方法求解已不現實。怎么辦？

二、探究規律

將該問題轉化為數學問題就是：一個平面最多可被n條直線分成多少部分?認為0條直線可將平面分成1部分，易知1條、2條、3條、4條、5條直線最多可將一個平面分成2、4、7、11、16部分。

直線條數0 1 2 345…n

最多分割數1 2 4 7 1116 an

觀察上面數據，可發現如下規律：1+1=2、2+2=4、3+4=7、4+7=11、5+11=16，故6+16=22. 即一個平面最多可被6條直線分成22部分。依此規律，不作圖，易知用7條直線、8條直線……分割平面時的最多分割數。然而，因為每一個結果都要用到上一個結果，若用100條，甚至更多條直線分割平面時，利用該規律時不免過于煩瑣。怎么辦？

三、猜想公式

由上面數據可知： a1-a0=1、a2-a1=2、a3-a2=3…… an-an-1=n。等號兩邊分別相加可得：an-1=1+2+3+ ……n，an-1=，∴an=+1。該公式只是根據規律用不完全歸納法猜想出來的,到底對不對？

四、證明公式

一條直線把平面分成兩部分；對平面中的兩條直線而言，當它們交于一點時把平面分成四部分，而當它們平行或重合時則分別把平面分成三部分或兩部分。所以，在研究ｎ條直線分割平面時，只有當它們處于最一般位置時，才能取得最大的分割數。這里的最一般位置是指任何兩條直線都不平行（包含重合），而且任何三條直線都不會交于一點。

假設平面已經被n-1條處于最一般位置的直線分割成an-1部分，接著又添加第ｎ條直線仍處于最一般位置，此時新增加了n-1個交點。而且這條新添加的直線恰好穿過原來的 部分中的ｎ個，并把它們的每一個都一分為二。所以，這第ｎ條直線的添加使得原來部分平面的份數增加了ｎ個。這樣，就得到一個遞推公式：an=an-1+n，依次令n=1、2、3、…n，把所得的ｎ個式子相加即為：an=1+(1+2+3+…+n)=1+，故可以得出結論：一個平面最多可被n條直線分割成1+部分。

五、編寫程序

在解決該問題的過程中蘊涵著算法的思想，故可編寫成basic程序語言，如下：INPUT n / i=0 / a=1 / WHILE i

六、“刀切西瓜”問題

直線分餅問題即線分面問題，由此聯想到面分體問題，即刀切西瓜問題。“用刀切西瓜，1刀可以切2塊，2刀4塊，3刀8塊，4刀15塊，5刀最多可切多少塊？ｎ刀呢？”

解決該問題，可類比直線分餅問題。設在空間中，n個平面最多可以劃分出bn個空間區域．ｎ是自然數，其中b0=1,b1=2,b2=4,b3=8,b4=15,bn-bn-1=+1.

在空間上的n-1個平面基礎上再增加一個平面，那么這一個平面會和其他的n-1個平面相交。在每一個平面上有n-1條直線。增加的空間區域數就等于該平面上的n-1條交線劃分出來的平面區域數。故bn=+1 ．

（平頂山市理工學校）