于繁多處尋規律:巧記活用三角公式

趙瑞

摘要：三角變換是高考命題的熱點，由于其公式眾多，也是學生們學習時的難點。其實，可以從巧記和活用兩個方面探討三角公式的學習方法：一是把握公式規律，巧記公式，二是總結題型規律，活用公式。

關鍵詞：三角變換；誘導公式；倍角公式

三角變換是高中數學的重要內容，是歷年高考的必考內容，但也是學生們比較頭疼的地方，總結起來原因有二。第一，三角公式繁多，記憶時容易出錯；第二，即使公式都記住了，用公式解題時不知道該用哪一個公式。本文就針對學生學習時容易出現的問題，探討怎樣巧記活用三角公式進行三角變換。

一、把握公式規律，巧記公式

對三角公式的準確、熟練記憶是進行三角變換的前提，但是三角公式繁多：同角三角函數的基本關系式（8個）、誘導公式（36個）、兩角和與差的三角函數公式（6個）、二倍角公式（5個），再加上各組公式的變形，總共有60多個公式。如何才能保證記憶時不出現錯誤呢？這就要求學生在記憶時不要死記硬背，而是要把握其中的規律，巧記公式。下面，介紹各組公式的記憶方法。

1. 同角三角函數的基本關系式

這組公式常稱“三類八式”，即這八個公式分為三大類：平方關系、商數關系和倒數關系。八個公式可畫一個六邊形來記憶。

記法：①在最長對角線上的兩個三角函數的乘積為1。如：tanα·cotα=1；②在3個倒三角形中，上面兩個頂點的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方（中心點為1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一頂點上的三角函數值等于與之相鄰的兩個頂點的三角函數值的乘積。如：sinα=tanα·cosα.

2. 誘導公式

誘導公式看似很多，其實可以概括為一句口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。誘導公式左邊的角可統一寫成k·±α(k∈Z)的形式，當為奇數時，等號右邊的三角函數名稱與左邊的三角函數名稱正余互變，當k為偶數時，等號右邊的三角函數名稱與左邊一樣；而公式右邊的三角函數之前的符號，則把α當做銳角，k·±α為第幾象限，以及左邊的三角函數之前的符號即為公式右邊的符號。

3. 兩角和與差的三角函數公式

這6個公式可分為三組，故可分為三組來記憶。每一組的特征都很明顯：兩角和（差）的余弦：余余、正正、符號異；兩角和（差）的正弦：正余、余正、符號同；兩角和（差）的正切：分子同，分母異。

4. 二倍角公式

其實，二倍角公式是兩角和的三角函數公式當兩角相等時的特殊情況。把握住這點，記住兩角和的三角函數公式，二倍角公式自然就記住了。有規律有方法地巧記公式，有事半功倍的效果。

二、總結題型規律，活用公式

記 住了三角公式，如果不了解三角變換的提醒規律，也很難去用公式解題。三角變換題目雖然很多，但是也是有規律可循的，大致可以分為以下幾類。

1. 角的變換

進行角的變換常用的公式有誘導公式、兩角和（差）公式和二倍角公式。因此，題目當中需要化角時就要想到用這些公式，而不是往別的公式上去套。例1：已知α、β為銳角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此題就需要用到角的變換β=(α+β)-α，然后兩邊取正弦，右邊用兩角差的正弦公式展開即可。

2. 函數名稱的變換

一般是切割化弦或弦化切割，常用公式為同角三角關系式中的倒數關系式和商數關系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求關于正余弦的值，很顯然只能采用公式tanα=。

3. 常數變換

在三角變換中，有時需要將常數化為三角函數值，比較常見的是“1的變換”，常見的變形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-

sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，則+的化簡結果為( )。解析：巧用常數1的變換：1=sin2α+cos2α，則1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再結合角的范圍開方即可。

4. 冪的變換

降冪是三角函數變換時常用的方法，對次數較高的三角函數公式一般采用降冪處理方法，常用的降冪公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函數平方關系式，降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式常用升冪處理變成有理式。例4：化簡cos8x-sin8x+ sin2x·sin4x。解析：本題中三角函數的次數較高，需要從降冪入手進行化簡，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。

總之，三角變換題目比較靈活，其解法也千變萬化，沒有固定的、唯一的解法。所以，在解題時，應根據題目的特點確定解題方法和變換技巧，再選擇有關公式，千萬不能對公式生搬硬套。如果在學習過程中多歸納、多總結，注意分析題目的結構及發現其規律，則可以結合所學的知識迎刃而解了。

參考文獻：

[1]王紅霞.三角恒等變換的常用方法與技巧[J].新高考,2010(2).

[2]朱孝春.三角變換的“四巧”[J].數學學習與研究,2009(1).

（平頂山市理工學校）