基于龐得里亞金極大值原理的我國城鄉固定資產投資最優分配比例

陳妙莉

[摘要]改革開放以來我國城鎮和農村固定資產投資額的差距呈現逐年遞增的趨勢。本文利用經濟控制論的方法，從城鎮和農村地區固定資本投資差異的角度入手，建立宏觀經濟總量模型，利用龐得里亞金極大值原理求解最優解，并利用參數估計的結果計算了我國經濟協調發展時城鎮和農村固定資產投資的最優分配比例。

[關鍵詞]城鄉協調發展極大值原理最優比例

一、引言

改革開放以來，我國農村地區發生了翻天覆地的變化，農民生活水平也得到了顯著的提高。但由于歷史因素、國家政策偏向等因素的影響，城鄉差距卻在不斷拉大。城鄉差距并沒有伴隨著中國經濟總體的快速發展而縮小，反而出現持續擴大的趨勢。其中，城鎮和農村固定資產投資額之間的差距是很大的，且呈現逐年增大的趨勢。1991年以前，城鎮固定資產投資額是農村固定資產投資額2.6-2.9倍左右，2008年以來這一數據上升到6倍多，2011年更是高達6.9倍。

本文利用經濟控制論的方法，從城鎮和農村地區固定資本投資差異的角度入手，建立宏觀經濟總量模型，利用龐得里亞金極大值原理求解最優解，并利用參數估計的結果計算了我國經濟協調發展時城鎮和農村固定資產投資的最優分配比例。

二、文獻回顧

控制論較為廣泛的運用是基于龐得里亞金極大值原理的最優設計問題，既有宏觀經濟總量的最優政策設計，也有微觀的如企業生產、投資等方面的最優化問題。如李煌雁（2011）基于柯布-道格拉斯生產函數和效用函數求解了宏觀經濟最優稅收政策；周朝民，李壽德等（2010）則以廠商價值最大化為目標函數分析了廠商污染治理投資的最優控制策略，結果表明，廠商污染治理投資和生產投資的最優比例是1:1；路榮武，付政慶（2006）建立環境經濟最優控制模型分析了二氧化硫的最優排放量問題。

對于最優控制問題不止龐得里亞金極大值原理這一方法。趙果慶（2007）利用經濟計量模型和模型仿真的方法分析了我國“十一五”GDP能源單耗目標最優控制；成定平，劉光中（1997）利用極小值原理和廣義經濟控制論的知識分析了貨幣供給動態模型和貨幣供應量的最優控制問題。

三、基于龐得里亞金極大值原理的經濟模型求解

1.經濟模型的建立

為簡化起見，構造一個封閉的離散時間的宏觀經濟動態系統模型：

生產函數：Y=F(K1，K2，L)

其中，Y為國民生產總值，即GDP；

K1為城鎮資本存量；K2為農村資本存量；

L為勞動人口數。

為便于推導，本文的生產函數采用柯布-道格拉斯生產函數（即CD型生產函數）來近似描述：

Y=AK1αK1βL1-α-β

這里假設宏觀經濟協調發展時生產規模報酬不變。

在封閉經濟條件下，產出的一部分用于消費，一部分用于投資積累，投資率記為，本文假設投資積累率是給定的?？偼顿Y按區域分為城鎮固定資產投資和農村固定資本投資，分別記為I1和I2，于是有：

總投資I(t)=ρY(t)=I1(t)+I2(t)

總投資一部分分配給城鎮，另一部分部分分配給農村。其中城鎮固定資產投資的比例為σ，即：

I1=σI(t)=σ×ρ×Y(t)

I2=(1-σ)I(t)=(1-σ)×ρ×Y(t)

其中，σ為比例系數，為本文經濟模型的外生政策變量，也是本文所求變量。

城鎮固定資本存量K1(t)的變化遵循下式：

K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

其中，δ為固定資本折舊率。上式表示：第t+1年的固定資本存量等于第t年的固定資本存量減去固定資本折舊，再加上第t年新增固定資本投資額。

同理：K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

這里，假定城鎮和農村的固定資本折舊率是一樣的。

利用經濟控制論討論宏觀經濟問題的首要步驟是構造系統的目標。本文設定的宏觀經濟系統的目標是：人均國民生產總值的累積量達到最大。

綜上，構造如下的經濟系統數學模型：

K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

I1(t)+I2(t)=ρY(t)

I1=σI(t)=σ×ρ×Y(t)

I2=(1-σ)I(t)=(1-σ)×ρ×Y(t)

y(t)=Y(t)/L(t)

其中，資本存量K1(t)、K2(t)為系統狀態變量；σ為外生政策變量，即系統控制輸入變量，為本文待求變量。

其中，各參數的取值范圍為：0＜α＜1，0＜β＜1，0＜δ＜1，0＜ρ＜1，0＜σ＜1。

該經濟模型的幾個假設：

（1）生產函數為規模報酬不變型。

（2）城鎮和農村的固定資本折舊率一樣。

（3）投資累積率給定。

2.利用龐得里亞金極大值原理求解最優比例

首先對上述模型構造哈密爾頓函數，得：

根據離散時間動態系統龐得里亞金極大值原理，模型必須滿足如下條件：

(1)控制輸入應滿足：

(2）拉格朗日算子應滿足：

(3）系統滿足狀態方程：K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

具體推導過程如下： K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

將狀態方程及相關計算公式帶入H函數中，得：

上式表明，宏觀經濟協調發展時，城鎮固定資產的邊際產出等于農村固定資產的邊際產出。這與經濟協調發展時各部門要素投入邊際產出相等的理論一致。

將生產函數Y=AK1αK1βL1-α-β帶入上式對求導可得。

由此可知，只要估計出生產函數中城鎮和農村資本的生產彈性系數，就可得到所建立的經濟模型的最優解，即分配給城鎮的固定資產投資的最優比例。

四、數據處理及模型估計

1.數據處理。本文參數估計模型的數據均來自中經網統計數據庫，基于數據的可得性，采用1981年～2011年的年度數據。根據生產函數的形式，本文選取產出水平Y、城鎮資本存量K1、農村資本存量K2、勞動投入L四個變量進行參數估計。各變量對應的數據指標選取如下：

(1)產出水平Y。采用全國國內生產總值GDP作為衡量產出水平的指標。為反映真實的產生水平，各年的GDP均剔除了價格因素的影響：即各年現價GDP除以以1978年為基期的定基居民消費價格指數，得到各年真實GDP。

(2)資本存量K1、K2。統計數據庫中通常只給出各年的固定資產投資額或資本形成總額。而經濟模型中生產函數里的K是一個存量的概念，以每年固定資產投資額或資本形成總額這一流量指標作為K的衡量指標顯然是違背理論的。因此，本文基于永續盤存法，參考資本存量估算的相關文獻粗劣估算了我國城鎮和農村的資本存量水平，以此作為K1、K2的衡量指標。

永續盤存法的基本公式：Kt=It+(1-δt)Kt-1

其中，Kt為t年資本存量，It為t年的投資，δt為折舊率，Kt-1為t-1年資本存量。

①在資本存量的估算中，It的選取主要有全社會固定資產投資總額、資本形成總額或固定資本形成總額幾種。本文采用固定資產投資總額。采用永續盤存法時，以當年價格計算的投資必須用一定的價格指數進行平減。為簡化起見，本文采用居民消費價格指數進行平減，得到實際的城鎮固定資產投資總額和農村固定資產投資總額。②折舊率δt的估計由于折舊率在不同年份和不同行業中是不一致的，為了簡化，本文采用孫輝等（2010）選取的6%的折舊率。③基年資本存量K0的估計。資本存量初始值的估計方法主要有資本產出比和折舊-貼現法，也有筆者為簡化起見用初始年份固定資本形成總額除以10%直接得到初始資本存量水平。本文參考資本產出比為3、以1981年為基期估算初始資本存量。

（3）勞動投入L。為配合其他變量在平穩性方面的要求，本文選取年末經濟活動人口作為L的替代變量。由于2011年的數據缺失，本文用2010年的同比增長率進行估計得到2011年的經濟活動人口數。

2.模型估計及結果分析

將生產函數兩邊同時取對數得變量之間的線性關系：

利用Eviews6.0進行OLS估計，得到：α=0.5445，β=0.2034。由此可得城鎮獲得的固定資產投資額的最優比例：σ=0.7280。相應可得到城鎮和農村的固定資產投資的最優比例：I1:I2=2.61:1。

五、小結

本文通過建立簡化的宏觀經濟總量模型，利用龐得里亞金極大值原理求解了城鎮與農村固定資產投資的最優比例，并基于經濟計量模型估計的參數計算了這一最優比例。而實際數據則顯示我國城鎮和農村的固定資產投資差距日益擴大。當前，我國總體經濟水平呈平穩增長趨勢，但經濟快速發展的同時城鄉收入差距也日益擴大。利用經濟計量工具對城鄉固定資產投資與城鄉收入差距的相互關系進行分析是本文今后進一步研究的方向。

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