“不足”與“不到”就是“少于”或“小于”

劉繼紅 劉永豪

筆者在教學人教版七年級下冊《數學》P142頁的第9題習題時，認真學習了與之配套的人教版《教師教學用書》給出的解題方法，同時也查閱參考了由內蒙古少年兒童出版社出版的七年級數學下冊《點撥》（配人教版）所附贈的《教材習題參考答案》給出的解題方法，筆者覺得均有不妥，值得商榷，現提出自己的淺見.

七年級下冊《數學》課本P142頁的第9題習題題目如下：

把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學生分5本，那么最后一人就分不到3本. 這些書有多少本？學生有多少人？

《教師教學用書》給出的解題方法為：

解 設有x名學生，則有（3x + 8）本書.

根據題意，得

3x + 8 ≥ 5（x - 1）， ①3x + 8 < 5（x - 1） + 3， ②

解不等式組，得5 < x ≤ 6.5.

因為x取整數，所以x = 6.

則3x + 8 = 26（本）.

即這些書有26本，學生有6人.

數學《點撥》附贈的《教材習題參考答案》給出的解題方法為：

解 設學生有x人，則有（3x + 8）本書.

根據題意，得

3x + 8 ≥ 5（x - 1）， ①3x + 8 ≤ 5（x - 1） + 2， ②

解不等式組，得5.5 ≤ x ≤ 6.5.

因為x取整數，所以x = 6.

則3x + 8 = 26（本）.

即這些書有26本，學生有6人.

由上可看出：兩者解題的方法實質上是一樣的，不等式① 都是大于或等于號. 筆者認為不妥，若按照此種解題方法來解下面一道題，就可看出不妥之處.

題目：有一群猴子，一天結伙去偷桃子. 分桃子時，如果每只猴子分3個，那么還剩下59個；如果前面的每只猴子分5個，最后一只猴子分到的桃子不足5個. 你能求出有幾只猴子、幾個桃子嗎？

解 設有x只猴子，則有（3x + 59）個桃子.

根據題意，得

3x + 59 ≥ 5（x - 1）， ①3x + 59 < 5（x - 1） + 5， ②

解不等式組，得29.5 < x ≤ 32.

因為x取整數，所以x = 30，31或32，

則3x + 59 = 149，152或155.

我們對當x = 32時，3x + 59 = 155的結果來分析一下，當前面的31只猴子每只分得5個桃子時，就已分完了155個桃子，最后一只猴子將會一個桃子也沒有分到.

在生活中無論是購買東西或是分發東西，最后到者往往會遇到“不足”與“不到”多少數量的現象，這是很正常的，但并不說明一點也沒有，而僅僅是少一點而己.

所以筆者認為“不足”、“不到”應該只是“少于”或“小于”，不應包含一本（個）也沒有分到這種情況.

前面的解題中不妥之處，在于所列的不等式組中，不等式 ① 含有等號，包含一本（個）也沒有分到這種情況，使不等式組的解集范圍擴大了.

故對于七年級下冊《數學》課本中P142頁的第9題習題，筆者認為解題過程應如下：

解 設有x名學生，則有（3x + 8）本書.

根據題意，得

3x + 8 > 5（x - 1），①3x + 8 < 5（x - 1） + 3，②

解不等式組，得5 < x < 6.5.

因為x取整數，所以x = 6，3x + 8 = 26（本）.

即這些書有26本，學生有6人.

對于對比列舉的例題，解法應如下：

解 設有x只猴子，則有（3x + 59）個桃子.

根據題意，得

3x + 59 > 5（x - 1）， ①3x + 59 < 5（x - 1） + 5， ②

解不等式組，得29.5 < x < 32，

因為x取整數，所以x = 30或31，

則3x + 59 = 149或152.

即猴子有30只時，桃子有149個；猴子有31只時，桃子有152個.