三角尺的“大作為”

王恒昌

【摘要】 三角尺是數學教師進行教學和學生進行數學學習所使用的極為普通的教具、學具，然而就是這看似不起眼的教具、學具，卻在數學學習中有“大作為”.本文結合具體的實例，從五個方面對三角尺在教學中的作用進行了闡述，從一個側面展現了廣大數學教師的實踐經驗和教育智慧.

【關鍵詞】 三角尺；大作為

一副平平常常的三角尺卻能在幾何教學中生輝，這是廣大數學教師的實踐經驗和教育智慧. 細心觀察不難發現，數學課堂中、數學試卷上以及數學課本、教輔資料都有三角尺的蹤影，真可謂妙趣橫生.

一、增強了教學的趣味性

教學中，如果教師用學生習以為常的三角尺“創造”出許多精巧的試題或問題，學生會有“老樹開新花”的感覺，會大大增強學生的探究欲望，提高學習興趣.

例1 將一直角三角尺與直尺如圖1所示放置，下列結論：（1）∠1 = ∠2；（2）∠3 = ∠4；（3）∠2 + ∠4 = 90°；（4）∠4 + ∠5 = 180°.其中正確的個數是（ ）.

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

這道題目中，把直角三角尺的兩條直角邊作為兩條平行線（直尺的對邊）的截線，巧妙地將平行線的三條性質全部運用其中，創設了一個很好的問題情景.同時，直角三角尺本身所具有的“直角”這一條件在此題中也發揮了一定的作用.

例2 一次數學活動課上，小華將一副三角尺按不同的方式疊放，編制出了4道有關角度計算的問題，同學們興趣盎然.你能分別計算出下列各圖中∠α的度數嗎？

這道題目，通過一副三角尺構造了四個幾何圖形，可以利用三角尺角度的特殊性，考查學生運用三角形的內角和定理及外角性質的能力.值得說明的是，用一副三角尺還可以構造許多的幾何圖形，設計很多的數學問題，為學生開展興趣活動提供豐富的、有趣的素材，使得學生能夠順其自然地投入到研究性學習之中，產生數學思考，并在研究和探索的過程中培養他們的動手操作能力，提高他們發現問題、分析問題和解決問題的能力.

二、凸顯了學具的功能性

教學時，教師要引導學生開發三角尺的功能，發揮這個學具在幾何學習中的重要作用.在幾何作圖中，通過動手操作，不僅可以培養他們的動手能力，還可以引導他們生成新知識，發現數學規律.

如在初學角的概念時，可讓學生用一副三角尺畫大于0°且小于180°的不同的角，比一比看誰畫的最多，學生積極性會很高，并最終通過動手操作和思考，找到一般性的規律： 最小的角為15°，若按從小到大的順序排列將依次大15°，這樣共可以畫出11個符合條件的角.

再如，在學習平行線判定時，首先要讓學生了解用三角尺畫平行線的操作要領，掌握畫法，進而引導學生得出平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行.

隨著學習的不斷深入，還可以引導學生利用三角尺畫出一些特殊的三角形和多邊形，如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形等.同時，要引導學生在作圖中進行理性思維，明白作圖方法中所蘊涵的數學知識.

三、加強了教學的直觀性

教學時，運用三角尺在黑板上演示圖形變換的過程，可以使教學更加直觀、形象和生動，也有利于學生形成運動變化的觀點，并在操作過程中發現數學問題，積極進行思考和探索，最終找到解決問題的途徑和辦法.

例3 如圖4，有一把直尺AB和一個直角三角尺如圖擺放，直角頂點C在AB上，∠E = 30°，∠DCA = ∠ECB，然后將三角尺繞頂點C順時針旋轉，那么至少旋轉 °，可以使DE∥AB.

例4 如圖5，將一個含有30°角的直角三角尺AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△A1OB1.若點A的縱坐標為1，則點A1的坐標為 .

四、體現試題的簡約性

由于一副三角尺均是特殊的三角形，其所包含的特殊角、邊以及邊角之間的特定關系，這些都為試題增加了隱含條件，從而可以簡化試題內容，使得試題更加簡約.如下兩道例題就是最好的例證.

例5 如圖6，兩個含30°角的相同直角三角尺按圖中位置擺放，使兩條相等的直角邊AC，C1A1共線.

（1）圖中有多少對全等的三角形？請將它們寫出來；

（2）選擇其中的一對全等的三角形進行說明.（△ABC ≌ △A1B1C1除外）

例6 （1）把兩個含有45°角的大小不同的直角三角尺如圖7放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F. 試說明：AF⊥BE.

（2）把兩個含有30°角的大小不同的直角三角尺如圖8放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F. 問：AF與BE是否垂直？并說明理由.

五、提升問題的綜合性

由于借助三角尺進行圖形的平移、旋轉等變換，可以構造出不同類型的幾何圖形，加之三角尺自身所隱含的條件，無形當中會增加思維的難度，使得試題更具綜合性，這有利于培養學生的識圖能力、空間想象力和思維能力.

例7劉衛同學在一次課外活動中，使用了如圖9，10所示的三角尺. 其中圖 9 是含有30°角的直角三角尺，BC = 6 厘米， 圖 ② 是含有45°角的的直角三角尺，DE = 4厘米.圖11 是劉衛同學所做的一個實驗：他將三角尺DEF的直角邊DE與三角尺ABC的斜邊AC重合在一起，并將三角尺DEF沿AC方向移動.在移動過程中，D，E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）.

（1）在三角尺DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛同學發現：F，C兩點間的距離逐漸_________.（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛同學經過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當三角尺DEF移動至什么位置，即AD長為多少時，F，C的連線與AB平行？

問題②：當三角尺DEF移動至什么位置，即AD長為多少時，以線段AD，FC，BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在三角尺DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD = 15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.

請你分別完成上述三個問題的解答過程.

此題是一道操作類問題，綜合了圖形的變換、相似三角形、直角三角形及方程等數學知識，并且涉及了分類討論、轉化等數學思想方法，是一道難得的好題.研究這道題目時，要引導學生運用運動變化的觀點，牢牢抓住“圖形變化中的不變性”這個關鍵.