用法向量確定二面角大小的三個基本關(guān)系

程映軍

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；法向量；二面角；符號；方向；相

關(guān)關(guān)系

〔中圖分類號〕 G633.65 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）23—0082—02

求二面角平面角的問題在傳統(tǒng)立體幾何中解決的方法較多，這也是高考的一個重要內(nèi)容，但新教材對此問題有所淡化，只要求學(xué)生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而兩個法向量的夾角與二面角的平面角到底何時相等？何時互補？教材中處理得比較含糊，要求借助于圖形直觀解決，實際上此法可操作性并不大，因此，到了這個部分便常常出現(xiàn)“老師想講講不清，學(xué)生能學(xué)學(xué)不透”的尷尬局面.那么，如何在判斷方法上兼顧理論依據(jù)的正確性和事件操作的可行性、簡捷性呢？筆者認(rèn)為，只要認(rèn)識清楚以下三個基本關(guān)系，我們并不需要借助其他理論工具，就能快速解決這一問題.

一、空間向量坐標(biāo)的符號與向量方向的關(guān)系

一個向量的坐標(biāo)并不是刻畫這個向量在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的具體位置，而是刻畫向量相對于標(biāo)準(zhǔn)正交基[i][?]=（1，0，0），[j][?]=（0，1，0），[k][?]=（0，0，1）的 “分解程度”.如，將向量[m][?]=（x，y，z）分解，則此向量在x軸、y軸、z軸上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][?]，=（0，y，0）=y[j][?]，=（0，0，z）=z[k][?]，從而x，y，z的正負(fù)直接反映這三個分向量與對應(yīng)的基底是同向還是反向，如下表：

二、平面法向量的橫、縱、豎之間的相關(guān)關(guān)系

平面α的法向量的坐標(biāo)之間構(gòu)成正比例關(guān)系.

證明：設(shè)A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三個不共線的點，[m][?]=（x，y，z）是平面α的法向量，則[m][?]

⊥

[m][?]⊥

?[m][?]

·=0

[m][?]·

=0?

x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0

x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得

y=-x，z=-x

y1-y0z1-z0

y2-y0z2-z0 ≠0. 記λ1=-，

μ1=-，則[m][?]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；

同理， λ2=-， μ2=-x1-x0z1-z0

x2-x0z2-z0 ≠0，則[m][?]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；

令λ3=-， μ3=-x1-x0y1-y0

x2-x0y2-y0 ≠0，則[m][?]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.

這說明，由A0，A1，A2三點唯一確定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一確定.

三、二面角的大小與兩個法向量相對指向的關(guān)系

定義1：以l為棱的兩個半平面α，β把空間分成兩部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分稱為二面角的內(nèi)部，另一部分則稱為二面角的外部.

定義2：以平面α上任意一個不屬于棱的點為起點作該平面的法向量，如果這個法向量的終點總是落在二面角α-l-β的外部，則稱該法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，稱該法向量指向二面角α-l-β的內(nèi)部.

有以下事實：

①當(dāng)α，β的法向量[m][?]，[n][?]同時指向二面角α-l-β的內(nèi)部（或外部）時，角<[m][?]，[n][?]>與二面角α-l-β互為補角（圖1）.

②當(dāng)α，β的法向量[m][?]，[n][?]一個指向二面角α-l-β的內(nèi)部，另一個指向二面角α-l-β的外部時，角<[m][?]，[n][?]>與二面角α-l-β大小相等（圖2）.

對于以上三個基本關(guān)系的闡述和證明，我們可以看到，要解決提出的問題，關(guān)鍵是要判斷兩個法向量的相對方向.而由于平面法向量的方向可以通過點坐標(biāo)的行列式運算化歸為一元線性表達(dá)式，所以我們只需要判斷出平面法向量的任意一個坐標(biāo)的符號，就可以確定法向量的相對方向，從而判斷出兩個法向量夾角與二面角的大小關(guān)系，實現(xiàn)整個問題的求解.以下舉例說明該方法的具體實施過程.

例1：如圖3，已知平面A1B1C1平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊△AB1C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè)AC=2a，BC=a.

（1）求證直線B1C1是異面直線AB1與A1C1的公垂線；

（2）求點A到平面VBC的距離；

（3）求二面角A-VB-C的大小.

解析：（1）（2）略.

（3）取AC中點O，連接B1O，易知OB1⊥底面ABC，過O作直線OE∥BC交AB于E.取O為空間直角坐標(biāo)系的原點，以O(shè)E，OC，OB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系.則A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.

設(shè)平面VBC的一個法向量[n][?]=（x1，y1，z1），由[n][?]⊥

[n][?]⊥

得-ax1=0

-ay1+

az1=0，取z1=1，得[n][?]=（0，，1），此時法向量[n][?]指向二面角A-VB-C的外側(cè).

同理可得平面VAB的一個法向量[m][?]=（2，-，1），此時，法向量[m][?]指向二面角A-VB-C的內(nèi)側(cè).

∴cos==-.

所以，二面角A-VB-C的大小為arccos-.

例2：在正方體中，二面角的大小為.

解：如圖5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直線A1C，A1D的方向向量分別為BB1D1和BAD1的法向量，分別令[n1][?]=，[n2][?]=，設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.

∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.

∴cos<，>==.

即向量，的夾角為30°，由于，的指向都是向著二面角外，所以二面角A-BD1-B1與向量，的夾角互補，所以二面角A-BD1-B1的大小為150°.

?? 編輯：劉立英