運用幾何方法證明凸透鏡成像規律

李越

摘要： 本文通過作圖及一些簡單的幾何推導，證明了凸透鏡成像規律，通過將數學知識運用在物理知識的學習上，幫助學生輕松掌握凸透鏡成像規律。

關鍵詞： 作圖法幾何證明凸透鏡成像規律

對初二的學生，如果僅憑在課堂上做實驗而完全清晰記憶凸透鏡成像的規律就是非常困難的。許多老師會給學生一個表格幫助記憶，但容易混淆，往往效果不佳。我們認為學生不僅應該知道一個知識點“是什么”還應該知道“為什么”。這種學習方法能幫助學生養成良好的學習習慣，高效理解與掌握所學知識。數學是物理學習的工具，恰當地運用數學知識有助于物理知識的理解。初二的學生已經掌握一定的幾何證明知識，通過跨學科知識遷移將其運用在凸透鏡成像規律的理解上，在激發學生學習興趣的同時還能幫助學生輕松掌握相關知識。

1.凸透鏡成像基本原理

凸透鏡成像中兩條特殊的光線是我們運用幾何證明的基礎：通過凸透鏡光心的光線傳播方向不變；跟主光軸平行的光線通過凸透鏡后過焦點。

明確描述像的幾個方面：成像位置，成虛像或實像，放大或縮小的像，正立或倒立的像。

2.作圖與幾何證明

為了更好地運用幾何知識幫助理解凸透鏡成像規律，我們先處理兩個特殊位置。（f為一倍焦距長）

2.1一倍焦距

物體放在焦點處，作圖：

證明物體在二倍焦距處成等大倒立的實像：過B點作BD∥AC交主光軸于點D，連接CD，此時我們不知道D點是否在二倍焦距處，CD長是否與物體等大，下面給出證明。

第一步：證明所成的像在二倍焦距處

∵AC∥BD

∴∠AOB=∠DBO

∵BO=BO，∠ABO=∠DOB=90°

∴△ABO≌△DBO

∴DO=AB=EO=2f

第二步：證明所成的像是等大的

∵FO=DF，∠OFC=∠DFB，∠FCO=∠FBD

∴△FCO≌△FBD

∴OC=BD

∴四邊形OCDB是平行四邊形

∴CD∥OB

∴∠CDO=∠DOB=90°

∴CD=OB=AE

通過證明我們得到D點在二倍焦距處，并且所成的像為倒立等大的。

這個數學證明過程相對簡單，初二的學生完全可以理解。通過這樣一種嚴格的邏輯推導證明，學生對當物體放在二倍焦距處所成像的特征有了深刻的理解，且方便記憶。

2.3一倍二倍焦距之間

物體放在一兩倍焦距之間，作圖：

我們把此時的成像情況與物體在二倍焦距處所成的像進行對比。平行主光軸的光線經過凸透鏡方向不變，即BD與BC同向；經過光心的光線：AO與主光軸的夾角比AO與主光軸的夾角大，那么AO與BC的交點自然會向右移到D點，所成的像就在二倍焦距以外，并且是放大倒立的。

2.4二倍焦距以外

物體放在二倍焦距以外，作圖：

此時的成像情況依然與物體在二倍焦距處所成的像進行對比。分析方法同2.3，所成的像就在一倍二倍焦距之間，并且是縮小倒立的。

2.3和2.4的成像情況都與2.2相比，當物向右移，像向右移，且放大；當物向左移，像向左移，且縮小。顯然，二倍焦距是成放大或縮小像的分界點。

2.5一倍焦距以內

物體放在一倍焦距以內，作圖：

由圖可知：此時所成的像是正立的放大的虛像。顯然，一倍焦距是成正立或倒立，虛像或實像的分界點。

3.總結

本文通過運用簡單的幾何知識和嚴格的邏輯推導，證明了物體在不同位置時凸透鏡成像的規律。不僅讓學生學會了知識本身“是什么”，還知道“為什么”，加深其對知識的理解、掌握與記憶，有助于知識的應用。教學中我們可以大膽嘗試將不同學科的知識運用于物理知識的學習中，通過跨學科知識遷移激發學生學習興趣的同時，讓學生體會學以致用的樂趣與成就感。

參考文獻：

［1］雷菊元.運用作圖幫助理解凸透鏡成像的規律［J］.數理化學習，2010.10.

［2］周尚智.淺談用作圖法研究凸透鏡成像的規律［J］.銅仁學院學報，2007.6.