對三次函數圖像內接正方形的研究

蘇勇

本文研究三次函數y=ax3+bx2+cx+d（a>0）圖像C1內接正方形個數.

首先把問題進行如下的簡化，將C1按向量b[]3a，bc[]3a-2b3[]27a2-d平移，則平移后所得圖像C2對應的解析式為y=ax3+c-b2[]3ax，再記c-b2[]3a=m，則y=ax3+mx.

若m≥0，則函數y=ax3+mx在（-∞，+∞）上為增函數，因此曲線C2不存在內接正方形.故以下的討論中假定m<0.如圖1所示，設曲線C2內接正方形ABCD的四個頂點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則直線AB的斜率

kAB=y1-y2[]x1-x2=（ax31+mx1）-（ax32-mx2）[]x1-x2

=a（x31-x32）+m（x1-x2）[]x1-x2

=a（x21+x1x2+x22）+m.

同理kBC=a（x22+x2x3+x23）+m，

kCD=a（x23+x3x4+x24）+m，

kDA=a（x24+x4x1+x21）+m，

由AB∥CD，BC∥AD得

kAB=kCD，kBC=kDA，

也即a（x21+x1x2+x22）+m=a（x23+x3x4+x24）+m，

a（x22+x2x3+x23）+m=a（x24+x4x1+x21）+m，

x21+x1x2+x22=x23+x3x4+x24，

x22+x2x3+x23=x24+x4x1+x21.

兩式相加得

2x22+x2（x1+x3）=2x24+x4（x1+x3），

（x2-x4）[2（x2+x4）+（x1+x3）]=0.

因為x2≠x4，所以2（x2+x4）+（x1+x3）=0.

又因為AC與BD的中點是同一點，所以x1+x3=x2+x4，故x1+x3=0，從而y1+y3=0，所以正方形ABCD的中心為原點.因此可設AC方程為y=kx（k>0），則BD方程為y=-1[]kx，由y=kx，

y=ax3+mx得ax3=（k-m）x，x=0，或x=±k-m[]a，

所以AC=1+k2·2k-m[]a.同理BD=1+-1[]k2·2-1[]k-m[]a，

由AC=BD得

1+k2·2k-m[]a=1+-1[]k2·2-1[]k-m[]a.（1）

由于AC隨k的增大而增大，故不同的k值對應不同的內接正方形，因此方程（1）的解的個數等于內接正方形的個數.將（1）平方化簡得k-m=1[]k2-1[]k-m，

k2-mk=1[]k-1[]k-m=-1[]k2-m1[]k，

k2+1[]k2-mk-1[]k=0，

k-1[]k2-mk-1[]k+2=0.（2）

令t=k-1[]k，則方程化為

t2-mt+2=0.（3）

因為t=k-1[]k（k>0）值域為R且t與k是一一對應的，所以方程（2）與方程（3）解的個數是相等的.

①m<-22時，則Δ>0，方程（3）有兩解，三次函數y=ax3+mx（a>0）圖像恰好存在兩個內接正方形；

②m=-22時，則Δ>0，方程（3）有一解，三次函數y=ax3+mx（a>0）圖像恰好存在一個內接正方形；

③-220）圖像不存在內接正方形.