正整數的方冪的方陣與費馬定理

張爾光

【摘要】本文以數學矩陣（方陣和三角矩陣）表達正整數的方冪，從其反映出來的規律中發現“xn+yn=zn”成立的必須具備的必要條件，證明到在“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2”方陣等式中不具備“xn+yn=zn（n≥3）”成立的必須具備的必要條件，既不存在“xn÷x2=zn-2（含yn÷y2=zn-2）”（即不存在“xn方陣+yn方陣=zn方陣”），也不存在“xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2）”（即也不存在“xn-2個x2方陣+yn-2個

y2方陣=zn-2個z2方陣”），所以費馬定理成立.

【關鍵詞】正整數；方冪；方陣；費馬定理；必要條件

緒言與結論

本文說的整數是指正整數，論證的是正整數的“xn+yn=zn”方程式.

1670年，費馬的兒子在清理其父遺著時發現了費馬定理.325年之后，1995年英國數學家安德魯·懷爾斯與其學生理查·泰勒應用橢圓曲線的原理對費馬定理作出了證明.筆者認為，費馬定理是一個關于整數方冪之間關系的方程式命題，一方面，應用整數方冪方陣的原理對其作出證明，這似乎更合乎該命題的題意；另一方面，記得我在念高中的時候，一位數學老師曾說過，一道代數方程式不只一個解法，應有兩個以上的多個解法.基于這個觀點，筆者嘗試以整數方冪方陣的原理，從費馬定理不成立的必要條件的角度，對費馬定理進行論證.

筆者研究結果表明，任何一個整數（n>1）的2次冪均可表為一個由“1”組成的方陣，任何一個整數的n（≥3）次冪均可表為一個由“該整數的n-2次冪（即nn-2）”組成的方陣，也可表為一個由nn-2個由“1”組成的方陣組成的方陣群.兩個整數2次冪相加之和等于另一個整數的2次冪（即x2+y2=z2）成立，是在于x2，y2，z2三者方陣的組成元素相同、方陣數相同（即均為一個由“1”組成的方陣）.費馬關于“不可能把任意一個次數大于2的整數的方冪，表為兩個整數的同次方冪之和（即xn+yn≠zn）”的定理之所以成立，是在于任何一個次數大于2的整數的方冪表為一個方陣時，其組成的元素各不相同，xn，yn兩者方陣不可能轉換為與zn方陣同一元素組成的方陣，即任何一個次數大于2的整數的方冪除以該整數的2次冪，不可能等于另一個整數的同次方冪減去2次冪，亦即xn÷x2≠zn-2（含yn÷y2≠zn-2），不存在“xn方陣+yn方陣=zn方陣”.同理，如將xn，yn，zn三者方陣分別表為一個由nn-2個由“1”組成的方陣組成的方陣群，雖然其方陣群的各個方陣的組成元素相同，但其方陣群的方陣數各不相同，不存在xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2），即不存在“xn-2個x2方陣+yn-2個y2方陣=zn-2個z2方陣”.所以，“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2”成立.

一、“xn+yn=zn”方程式中的一種數學現象

在整數的“xn+yn=zn”方程式中，如將xn，yn，zn三者的次數由1至2、至3的等式做分析，不難發現其存在的一種數學現象.

事實告訴我們，當xn，yn，zn三者的次數為1（即n=1）時，即在“x+y=z（z≥2）”方程式中，任何一個z（即大于2的整數）均可表為兩個整數相加之和，反之，任何兩個整數相加之和均可表為另一個整數.因此，“x+y=z（z≥2）”成立.

事實還告訴我們，xn，yn，zn三者的次數為2（即n=2）時，即在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，不可能做到任何一個大于2的整數平方（即z2）均可表為兩個整數平方相加之和，比如62，72，82不可能表為一個整數平方加另一個整數平方；反之，也不可能做到任何一個整數平方加一個整數平方等于另一個整數平方，比如“22+32”、“32+52”、“42+52”，其和不可能等于另一個整數平方.因此，在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，只是存在部分一個整數平方（即z2）可表為兩個整數平方相加之和，只是存在部分一個整數平方加一個整數平方等于另一個整數平方.所以，“x2+y2=z2（z≥2）”成立.

事實和費馬定理告訴我們，xn，yn，zn三者的次數為3（即n>2）時，即在“x3+y3=z3（z≥2）”方程式中，任何一個整數三次方（即z3）均不可能表為兩個整數三次方相加之和，反之，任何兩個整數三次方相加不可能等于另一個整數三次方.因此，“x3+y3=z3（z≥2）”不成立.

從以上事實看出，在整數的“xn+yn=zn”方程式中，當xn，yn，zn三者的次數為1（即n=1）時，完全成立；當xn，yn，zn三者的次數為2（即n=2）時，部分成立；當xn，yn，zn三者的次數為3（即n>2）時，完全不成立.冪的次數僅是從1至2、至3的遞升，其結果就發生了“完全成立→部分成立→完全不成立”如此截然不同的質的變化.這種數學現象隱藏著其中的奧秘.對此，如以數學矩陣的表達方式去研究它，從中發現它的規律性，這對于進一步認識和另辟蹊徑破解費馬定理，是有積極意義的.

二、“x+y=z（z≥2）”矩陣等式的共同特征

圖 1我們知道，任何一個整數都可表為一個由“1”組成的行陣（或列陣），如圖1所示.

我們知道，在“x+y=z（z≥2）”等式中，任何一個z（即大于2的整數）均可表為兩個整數相加之和，如用矩陣表示，均可表為一個由“1”組成的行陣加另一個由“1”組成的行陣.

從例證1至例證3看出，在“x+y=z（z≥2）”行陣等式中具有兩個共同特征，其一，x、y、z三個行陣均為由“1”組成，其組成元素相同；其二，1個完整的z行陣是由1個完整的、小于z的行陣加另1個完整的、小于z的行陣組成，x、y、z三者行陣數相同.

三、“x2+y2=z2（z≥2）”矩陣等式的共同特征

1.任何一個整數平方均可表為一個由“1”組成的方陣或三角矩陣

筆者在《地圖與數學的組合、排列及三角矩陣》一文（見《數學學習與研究》2011年第19期）中，經做圖證明得出結論：任何一個整數（n>1）的2次冪均可表為一個由“1”組成的方陣，而且這個方陣既可表為一個由“1”組成的三角矩陣，也可表為兩個由“1”組成的三角矩陣，見圖5.

根據整數的2次冪的方陣和三角矩陣的規律，遵循組合數“循序逐增”的基本原理，整數的2次冪的三角矩陣和方陣可以圖6來表示.其定理為：n2=C2n+C2n+1.

圖6 n2的三角矩陣和方陣圖

2.“x2+y2=z2（z≥2）”矩陣等式的共同特征

我們知道，在整數的“x2+y2=z2”等式中，是部分成立.對這部分成立的“x2+y2=z2”等式如用矩陣等式表達出來，并做分析，那么就會發現其共同特征.

例證1 32+42=52的方陣和三角矩陣等式，見圖7、圖8.

例證2 62+82=102的方陣和三角矩陣等式，見圖9、圖10.

從例證1、例證2看出，在“x2+y2=z2（z≥2）”方陣（三角矩陣同）等式中具有兩個共同特征，其一，x2，y2，z2三者方陣均為由“1”組成，其組成的元素相同；其二，三者方陣均為1個完整的方陣，即1個完整的z2方陣是由1個完整的、小于z2的方陣加另1個完整的、小于z2的方陣組成，三者陣數相同.

“方陣（三角矩陣）的組成元素相同”和“x2，y2，z2三者陣數相同”，這就是成立的“x2+y2=z2”方陣（三角矩陣）等式的共同特征，也是“x2+y2=z2”能夠成立的兩個必要條件.此兩個必要條件缺一不可.

根據“n2=C2n+C2n+1”定理，“x2+y2=z2”可置換為：（C2x+C2x+1）+（C2y+C2y+1）=（C2x+C2z+1）.

四、整數n（≥3）次冪的方陣的規律

研究結果表明，任何一個整數的n（≥3）次冪均可表為一個由“該整數的n-2次冪”組成的方陣，也可表為一個由“該整數的n-2次冪”組成的三角矩陣，還可表為兩個由“該整數的n-2次冪”組成的三角矩陣.

例證1

整數2的3次冪、4次冪、5次冪的方陣和三角矩陣（見圖11）.

整數3的3次冪、4次冪、5次冪的方陣和三角矩陣（見圖12）.

整數4的3次冪、4次冪、5次冪的方陣和三角矩陣（見圖13）.

根據整數的n（≥3）次冪的方陣和三角矩陣的規律，遵循組合數“循序逐增”的基本原理，整數的n次冪的三角矩陣和方陣可以下圖來表示：

圖14 nn的三角矩陣和方陣

其定理為：nn=（C2n+C2n+1）×nn-2（式中整數n≥2，方冪n≥3）.

根據“n2=C2n+C2n+1”定理，nn=（C2n+C2n+1）×nn-2又可表為：nn=n2×nn-2.此定理表明，由“nn-2”組成的nn方陣亦可轉換為由若干以“1”為元素組成的方陣組成的方陣群.如24，可表為：

五、費馬定理的另一種表述

四川科學技術出版社于1985年出版的《古今數學趣話》一書的《能下金蛋的母雞——“費馬猜測”古今談》對費馬定理的原本內容是這樣表述的：“不可能把一個整數的立方表為兩個整數的立方和，也不可能把一個整數的四次冪表為兩個整數的四次冪和.一般來說，不可能把任意一個次數大于2的整數的方冪，表為兩個整數的同次方冪之和.”用現代的專業用語來說，就是當n>2時，不定方程：

xn+yn=zn不存在正整數解.

根據上文求證到的“任何一個整數的n（≥3）次冪均可表為一個由‘該整數的n-2次冪組成的方陣”的結論，費馬定理可以下面文字來表述：

不可能把一個整數的立方的方陣表為兩個整數的立方的方陣，也不可能把一個整數的四次冪的方陣表為兩個整數的四次冪的方陣.一般來說，不可能把任意一個次數大于2的整數的方冪的方陣，表為兩個整數的同次方冪之方陣.其不定方程為：

[（C2x+C2x+1）×xn-2]+[（C2y+C2y+1）×yn-2]=（C2z+C2z+1）×zn-2.

不存在正整數解.

已知n2=C2n+C2n+1，那么，費馬定理又可表為：

（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2不存在正整數解.

六、對“xn+yn≠zn”（n≥3）的證明

研究結果表明，“xn+yn=zn”（n≥3）之所以不成立，是在于將xn，yn，zn表為整數的方冪的方陣時，這3個整數的方冪的方陣不同時具備“方陣的組成元素相同”和“方陣的個數相同”這兩個必要條件，只是具備其中的一個必要條件.

1.xn方陣+yn方陣≠zn方陣：在于“方陣的個數相同”而“方陣的組成元素不相同”

例證1 以33+43≠53為例.

已知：x3=33=33-2×32，y3=43=43-2×42，z3=53=53-2×52.

那么，33+43≠53則為（33-2×32）+（43-2×42）≠53-2×52.

其方陣等式如圖15所示.

從上圖看出，33+43≠53，是在于x3，y3，z3三者方陣，雖然方陣的個數相同（均為1個），但組成方陣的元素各不相同，x3方陣的組成元素是33-2，y3方陣的組成元素是43-2，z3方陣的組成元素是53-2.假如將x3，y3兩個方陣的組成元素改換為同是z3方陣的組成元素“53-2”，那么，其方陣等式如圖16所示.

顯然，圖16的方陣等式是成立的.但是，此方陣53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2

已是“53-2×32”的方陣，并非是“33-2×32”的方陣；此方陣53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

已是“53-2×42”的方陣，并非是“43-2×42”的方陣.

可見，33+43≠53是在于其3個方陣的組成方陣元素各不相同.

例證2 以34+44≠54為例.

已知：x4=34=34-2×32，y4=44=44-2×42，z4=54=54-2×52.

那么，34+44≠54則為（34-2×32）+（44-2×42）≠54-2×52.

其方陣等式如圖17所示.

從上圖看出，34+44≠54，是在于x4，y4，z4三者方陣的組成元素各不相同，如將這x4，y4兩個方陣的組成元素改換為同是z4方陣的組成元素“54-2”，那么，其方陣等式如圖18所示.

顯然，此方陣等式是成立的.但其表達的是“（54-2×32）+（54-2×42）=54-2×52”，并非是“（34-2×32）+（44-2×42）≠54-2×52”.

例證3 以63+83≠103為例.

已知：x3=63=63-2×62，y3=83=83-2×82，z3=103=103-2×102.

那么，63+83≠103則為（63-2×62）+（83-2×82）≠103-2×102.

其方陣等式表為：

從上圖看出，63+83≠103，是在于x3，y3，z3三者方陣的組成元素各不相同.如將上方陣等式的x3，y3兩個方陣的組成元素改換為同是z3方陣的組成元素“103-2”，那么，其方陣等式如圖20所示.

顯然，此方陣等式是成立的.但其表達的是“（103-2×62）+（103-2×82）=103-2×102”，并非是“（63-2×62）+（83-2×82）≠103-2×102”.

從例證1至例證3的方陣等式可知，如使“xn+yn=zn”（n≥3）成立，在小于zn方陣的方陣中，必須存在兩個可轉換為同是zn方陣的組成元素“zn-2”組成的方陣：一個是可轉換為“zn-2×x2”的方陣，另一個是可轉換為“zn-2×y2”的方陣.整數n次冪的除法法則和事實告訴我們，只存在xn÷x2=xn-2（含yn÷y2=yn-2）等式，絕不會有xn÷x2=zn-2（含yn÷y2=zn-2）的計算結果.因此，在小于zn方陣的方陣中，絕不可能存在可轉換為同是zn方陣的組成元素“zn-2”組成的方陣，亦即不存在“xn方陣+yn方陣=zn方陣”.所以，費馬定理成立，此證.

2.xn-2個x2方陣+yn-2個y2方陣≠zn-2個z2方陣：在于“方陣的組成元素相同”而“方陣的個數不相同”

根據“nn=n2×nn-2”的定理，現將上文的例證1、例證2的方陣等式轉換為同由“1”組成的方陣等式進行證明.

從上圖看出，33+43≠53，是在于x3，y3，z3三者方陣群的方陣個數不相同.如將x3，y3兩者方陣群的方陣個數改換為同是z3方陣群的方陣個數“53-2”，那么，其方陣等式如圖22所示.

從上圖看出，34+44≠54，是在于x4，y4，z4三者方陣群的方陣個數不相同.如將x4，y4兩者方陣群的方陣個數改換為同是z4方陣群的方陣個數“54-2”，那么，其方陣等式如圖24所示.

顯然，此方陣等式是成立的.但其表達的是“（32×54-2）+（42×54-2）=52×54-2”，并非是“（32×34-2）+（42×44-2）≠52×54-2”.

從例證1、例證2的方陣等式可知，如使“xn+yn=zn”（n≥3）成立，在小于zn方陣群的方陣群中，必須存在兩個可轉換為其方陣個數與zn方陣群的方陣個數相同的方陣群：一個是可轉換為“x2×zn-2”的方陣群，另一個是可轉換為“y2×zn-2”的方陣群.整數n次冪的除法法則和事實告訴我們，只存在xn÷xn-2=x2（含yn÷y2=yn-2）等式，絕不會有xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2）的計算結果.因此，在小于zn方陣群的方陣群中，絕不可能存在可轉換為“x2×zn-2”（含yn×zn-2）的方陣群，亦即不存在“xn-2個x2方陣+yn-2個y2方陣=zn-2個z2方陣”.所以，費馬定理成立，此證.

綜上所證，得出結論：“xn+yn=zn”（n≥3）之所以不成立，是在于將xn，yn，zn表為整數的方冪的方陣時，三者方陣不同時具備“方陣的組成元素相同”和“方陣的個數相同”這兩個必要條件，只是具備其中的一個必要條件.

事實上，根據“xn方陣+yn方陣=zn方陣”必須具備的兩個必要條件和費馬定理給出的“同次方冪”的原則，用逆向思維方式去思考，不難發現，對費馬定理的證明，其實就是對“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2”作出證明.現證明如下：

將“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2”轉換為：

[（x2×xn-2）+（y2×yn-2）]÷zn-2=z2.

那么，得[（x2×xn-2）÷zn-2]+[（y2×yn-2）÷zn-2]=z2.

∵zn-2>xn-2，∴（x2×xn-2）÷zn-2

同理∵zn-2>yn-2，∴（y2×yn-2）÷zn-2

可見，在小于z的整數的n（≥3）次冪的方陣中，不存在可轉換為“x2×zn-2的方陣”和“y2×zn-2的方陣”的同次冪方陣，即（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2.所以，費馬定理成立，此證.