一類食物有限的單種群模型的hopf分支

劉培旭

1.引 言

生態(tài)系統(tǒng)中大家熟知的logistic增長(zhǎng)模型為：

N（t）·=rN（t）1-N（t）[]K.（1）

其中N（t）表示t時(shí)刻種群的密度，r表示內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K表示環(huán)境最大容納量.上述模型是在假設(shè)人口平均增長(zhǎng)率是人口密度的線性函數(shù)這一基礎(chǔ)上建立的，當(dāng)環(huán)境提供給種群的食物受到限制時(shí)，這一假設(shè)不符合實(shí)際.

1963年，Smith在研究水蚤增長(zhǎng)時(shí)提出如下著名的食物有限模型：

N（t）·=rN（t）K-N（t）[]K+cN（t）.

1983年，Ladas等考慮到種群平均增長(zhǎng)率是某一時(shí)滯變?cè)猼-τ的函數(shù)，得到了具有時(shí)滯的食物有限模型：

N（t）·=rN（t）K-N（t-τ）[]K+cN（t-τ）.

在本文我們將討論比上述模型更廣泛的食物有限的模型：

N（t）·=rN（t）K-aN（t）-bN（t-τ）[]K+cN（t）+dN（t-τ）.（2）

模型（2）已經(jīng)有多人進(jìn)行研究，范猛等利用重合度理論研究了該模型相應(yīng)周期系統(tǒng)的周期解的存在性.王金良等對(duì)其相應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的漸近性進(jìn)行了深入研究.

眾所周知，時(shí)滯會(huì)導(dǎo)致平衡點(diǎn)的失穩(wěn)及周期解的產(chǎn)生.在本文，我們將以時(shí)滯τ為參數(shù)來(lái)研究其hopf分支問(wèn)題，并給出相應(yīng)的例子.

2.hopf分支的存在性

在本節(jié)，我們主要通過(guò)討論系統(tǒng)（2）線性部分對(duì)應(yīng)的超越特征方程的根的分布情況來(lái)分析正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.很明顯，系統(tǒng)（2）有唯一正平衡點(diǎn)N0=K[]a+b，令x（t）=N（t）-N0把正平衡點(diǎn)平移原點(diǎn)處，得

x（t）·=r（x（t）+N0）-ax（t）-bx（t-τ）[]K+（c+d）N0+cx（t）+dx（t-τ）.

上述方程在x=0處的線性部分為：

x（t）·=-Ax（t）-bx（t-τ）.（3）

其中A=ar[]a+b+c+d，B=br[]a+b+c+d.方程（3）所對(duì)應(yīng)的特征方程為：

λ+A+Be-λx=0.（4）

我們?nèi)菀鬃C得如下引理.

引理1 當(dāng)τ=0時(shí)，特征方程（4）所有根都是負(fù)實(shí)根.

下面考察當(dāng)τ>0時(shí)特征方程（4）的根的分布情況.設(shè)iω（ω>0）是方程（4）的根，代入得

iω-A+B（cosωτ-isinωτ）=0.

分離實(shí)虛部得

Bsinωτ=ω，

Bcosωτ=-A.

（5）

平方相加得

ω2=B2-A2.（6）

若b≤a，則B≤A，上式無(wú)實(shí)解，即特征方程（4）無(wú)純虛根.若b>a，則B>A，從而（6）式有正實(shí)根ω=B2-A2，即方程（4）有形如iω的純虛根.由（5）式可知出現(xiàn)純虛根時(shí)τ的值為：

τj=1[]ωarccos-A[]B+2jπ，j=0，1，2，….

由以上分析可知：

定理1 對(duì)于特征方程（4），有

①若b≤a，則對(duì)于任意τ>0，方程（4）無(wú)純虛根.

②若b>a，則當(dāng)τ=τj時(shí)，方程（4）有且只有一對(duì)純虛根±iω.

記λ（τ）=α（τ）+ω（τ）為特征方程（4）滿足α（τj）=0，ω（τj）=ω的根.則如有下結(jié)論.

引理2 dα（τ）[]dττ=τj>0.

證明 對(duì)方程（4）兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)得

dλ（τ）[]dτ=Bλ[]eλτ-Bτ.

則

dλ（τ）[]dττ=τj=Biω[]cosωτj+isinωτj+Bτj.

再結(jié)合（5）式可得

dα（τ）[]dττ=τj=ω2[]Δ>0.

其中Δ=A[]B+Bτj2+ω[]B2>0.命題得證.

由引理1、引理2及定理1可得如下結(jié)論.

引理3 對(duì)于特征方程（4），我們有

①若b≤a，則對(duì)任意的τ>0，方程（4）的所有根都有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部.

②若b>a，則當(dāng)τ∈（0，τ0]時(shí)，方程（4）所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部，當(dāng)τ∈（τj，τj+1]（j=0，1，2，…）時(shí)，方程（4）有2（j+1）個(gè)嚴(yán)格正實(shí)部的根.

由引理3及hopf分支定理可得如下定理：

定理2 對(duì)于系統(tǒng)（2），我們有

①若b≤a，則對(duì)任意的τ>0，系統(tǒng)（2）的正平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定.

②若b>a，則當(dāng)τ∈（0，τ0]時(shí)，系統(tǒng)（2）的正平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ>τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定；τ=τj是系統(tǒng)（2）的hopf分支值，即在τ=τj附近系統(tǒng)（2）分支出小振幅的周期解來(lái).

注 定理2僅指出存在局部hopf分支周期解，即分支周期解只在分支值的一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)存在且振幅很小；當(dāng)參數(shù)遠(yuǎn)離分支值時(shí)，分支周期解是否存在，還有待進(jìn)一步討論.