素數分布——素數硬幣的拋擲運動

李海南

【摘要】本文在素數定理的基礎上，推導出一個更簡潔、更易于描述素數分布特征，同時精確度更高的求不大于x的素數個數π（x）的表達式Lihn（x）.主要證明了三個結果：（1）π（x）～Lihn（x）.（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）.（3）Li（x）>Lihn（x）+（x/logx）.結果（3）表明英國數學家John睱ittlewood在1914年證明的“Li（x）-π（x）是一個在正與負之間震蕩無窮多次的函數”的結論是錯誤的.文章最后從概率角度詮釋了素數分布就是素數硬幣的拋擲運動的實質.

【關鍵詞】素數分布；概率；連續轉折線；素數軸；素數硬幣

【中圖分類號】O1561

前 言

大家都知道，素數一直是數學家特別是數論學家的研究對象，素數分布則是其中的一個重要的研究分支，應該說到目前為止是只有其中三個人的結論影響最為深遠長久，他們分別是：

一、德國數學家Gauss的猜測

（1）素數定理：π（x）～x/logx或者更精確的

π（x）～Li（x），其中Li（x）=А襵2dulogu.

（2）第二個猜測：Li（x）總是過多地估計素數的個數.

二、德國數學家Riemann，他提出了求解素數個數的更精確表達式

π（x）～R（x）=Li（x）-А苝Li（xp）-ln2+∫∞xdtt（t2-1）lnt.

并由此引出黎曼假定（The Riemann Hypothesis）這一千禧年問題.

三、英國數學家John Littlewood在1914 年證明的“Li（x）-π（x）是一個在正與負之間震蕩無窮多次的函數”的結論

德國數學家Gauss在考察不大于x的素數個數時先是得到π（x）～x/logx，同時認為大自然推出素數很可能是一種素數硬幣的拋擲過程，只不過此時這枚硬幣正面朝上的概率不再是二分之一，而是1/logx，因此當x越來越大時，x為素數的概率就越小，因為正面朝上的概率隨著1/logx越來越小了.Gauss并進而推測到更精確的表達式：π（x）～Li（x）.

Lihn（x）的推導過程：

我們從圖1中可以顯然看到三個可以證明的結論：（1）π（x）～Lihn（x）

（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）

其中：Lihn（x）=А苙1n-1logn+x-n22n+1×nlog（n+1），1

（1）圖1清楚表明（1）：π（x）～Lihn（x）的成立是顯而易見的.

（2）同時誠如Gauss猜測的那樣，大自然推出素數確實是一種素數硬幣的拋擲過程，只不過這次素數硬幣的拋擲不是人們常識上所以為的那樣一枚一枚地拋擲，而是每一次拋擲都要比前一次增加兩枚硬幣，并且每一次的拋擲都排除掉明確非素數的硬幣（12，22，32，42，…，n2，…）.所以在相應的第（n+1）次拋擲中除了明確的非素數（n+1）2，其他的整數（不分大小）可能是素數的概率均是1/log（n+1）2（所以相應的素數個數=（n+1）2-n2-1/log（n+1）2=n/log（n+1））.這是和Gauss關于素數分布的論述“小于或等于x的素數的分布密度接近相應x的對數函數的倒數”的微小的也是最主要的區別（一個是接近，一個是均是），而正是這個微小的區別導致素數定理有如此大的偏差.圖中清楚顯示的三個表達式與實際的素數分布的誤差主要來自初始的拋擲，隨著n越來越大，在第n次拋擲中素數出現的數量就越來越趨向于一個穩定值：（n+1）/logn.而這正是素數為什么會在總體趨勢上雖然是越來越稀少，但素數總量π（x）仍然會越來越多的根本原因.遵循人們所熟知的四舍五入的概念，在累計第n次拋擲后素數出現的總量π（x）的誤差是不會超過接下來的第（n+1）次拋擲中素數出現數量的一半，即0.5n/log（n+1），而當n→∞時，0.5n/log（n+1）≈x/logx.所以有（2）式：π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）成立.綜上所述，從概率理論的角度可以判斷素數分布確實是“素數硬幣”的拋擲過程，素數在自然數里的分布是符合獨立隨機分布事件的特征的.而Lihn（x）明顯是一條連續的轉折線，轉折點在（12，22，32，42，…，n2，…）這容易讓我們得出結論：素數的分布接近一條連續轉折線.這條連續轉折線也可以稱之為素數軸.

如果我們接受這樣的素數分布的事實，接下來就很容易證明第三個結論：

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx），證明過程如下：

我們知道，對于Li（x）=А襵2dulogu，由于1/logu是遞減函數，故當x→∞時，

在區間n2～（n+1）2顯然有：（n+1）2-n2log（n+1）2<∫dulogu<（n+1）2-n2logn2.

所以nlog（n+1）+1log（n+1）2<А襠ulogu成立.

同理在區間（n-1）2～n2有：n-1logn+1logn2<А要dulogu成立.

……

г誶間32～42有：3log4+1log42<∫dulogu成立.

在區間22～32有：2log3+1log32<∫dulogu成立.

在區間12～22有：1log2+1log22<∫dulogu成立.

那么當x從（n+1）2→1時，顯然有下式：

nlog（n+1）+n-1logn+…+3log4+2log3+1log2+1log（n+1）2+1logn2+…+1log42+1log32+1log22<∫dulogu.

所以∑n1nlog（n+1）+121log（n+1）+1logn+…+1log4+1log3+1log2

亦即Lihn（x）+12×nlog（n+1）

Lihn（x）+x/logx

所以Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）是成立的.

這個結果表明：英國數學家John睱ittlewood在1914年證明的“Li（x）-π（x）是一個在正與負之間震蕩無窮多次的函數”的結論是錯誤的，這或許就是為什么即使現在的計算機時代也找不到一個他所說的反例的原因，應該說德國數學家Gauss的第二猜測是正確的，笑到最后的是德國數學家Gauss！

結論：素數的分布其實就是素數硬幣的拋擲運動！

說明：附表1除了Lihn（x）是用VB軟件計算外，其余的π（x）、R（x）和Li（x）的數據均來自網上下載，這是目前能找到的最大的素數表數據，期望能找到更大的數據來進行比較.附表2

說明：表中也清楚表明了Lihn（x）、R（x）和Li（x）與π（x）相比較的誤差是否滿足O（x/logx）.

【參考文獻】

[1]潘承洞，潘承彪.素數定理的初等證明.上海：上海科學技術出版社，1988.

[2]約翰·德比希爾.素數之戀.陳為蓬.上海：上海科技教育出版社，2008.

[3]馬科斯杜索托伊.素數的音樂.孫維昆.長沙：湖南科技出版社，2009.