由江浙兩省高考圓錐曲線試題看命題的變化趨勢

祁明衡

圓錐曲線部分歷來是高考數學的重點，也是學生心中的難點，很多學生對圓錐曲線都有畏懼心理.從高考成績分析上來看，圓錐曲線也是高考得分較低的部分；從考綱上來看，一般會“考查學生對解析幾何基本概念的掌握情況，考查學生對解析幾何基本方法的一般應用情況，適當地考查學生對幾何學知識的綜合應用能力，重視對數學思想方法的滲透”.

江浙兩省自古就是魚米之鄉，物產豐富，同時又都是文化大省，在高考試題的編制上也體現了它們的文化特點：靈動雋永，頗有新意.現在讓我們以這兩個省2012年高考數學圓錐曲線題為例，來分析這兩省的試題，感受解析幾何試題的變化趨勢，發現異曲同工之妙.

例 （2012年江蘇卷理19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜

率.

解析 （1）考查對橢圓的基本知識、性質的掌握，解答略.橢圓的方程為x22+y2=1.

（2）一般思路：求AF1，BF2的方程代入橢圓方程消去x或y由AF1-BF2=62，

求出斜率k.

由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，但考生若是受到思維定式的影響，不加分析便設出直線AF1、BF2的方程y=k（x+1），y=k（x-1），并列出方程組

x212+y21=1，①y1=k（x1+1）.②

但是，此時若學生沒有考慮是消去x保留y合適，還是消去y保留x合適，而圖一時之方便直接將②式代入①式消去y1，得出x1=-2k2±2k2+22k2+1.但是，此處卻不能簡單的得出x1=-2k2+2k2+22k2+1或x1=-2k2-2k2+22k2+1，因為這時直線AF1與橢圓左半軸有兩個交點，需要討論保留哪一個根，同理對x2也是如此.那么由AF1-BF2=1+k2·x1+1-1+k2x2-1，由于x1，x2無法確定，則去絕對值符號需要討論，至此，這道題就陷入了泥潭中，如不及時調整解題策略很可能導致解題的失敗.

但是，若考生能由圖觀察到F1，F2兩點均在x軸上方，得出y1>0，y2>0，選擇消去x求y，我們可以在開始就從實際出發，打破常規，設直線AF1，BF2的直線方程為x+1=my，x-1=my，則在代入消x的時候降低計算量.

由x212+y21=1，my1=x1+1輞1=m+2m2+2m2+2.

AF1=x1+12+y1-02=my12+y21=2m2+1+mm2+1m2+2.③

同理，BF2=2m2+1-mm2+1m2+2.④

③④由得AF1-BF2=2mm2+1m2+2=62，得m2=2.

∵注意到m>0，∴m=2.

∴直線AF1的斜率為1m=22.由此可見整個問題解決起來頗為方便、順心.

這是一道直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的定義及性質、直線方程等基礎知識.這道題比往年的解析幾何題難度要高，注重對題目的細節處理；不僅在題意分析或者條件轉化中，而且在運算過程中都存在不小的困難；另外試題對于數學思想方法的運用要求較高.

命題趨勢及解題策略

（1）這兩道高考題都重視對基礎知識和基本方法的考查，強調對解析幾何通性通法的掌握，突出數學思想與方法的考查，著力考查分析問題的能力，并且解題方法靈活多變.命題趨勢由“知識立意”轉向以“能力立意”為主.

（2）在設直線方程時不再是簡單固定模式的y=k（x+b），需要對問題進行具體分析，弄通情境，注重對細節的處理，以減少在下面做題中遇到的阻力，避免因為過于煩瑣的計算而導致解題失敗.

（3）要對問題的情境有一個整體的把握，從全局去考慮問題，全面、聯系地分析問題中的各個條件，弄清它們之間的幾何關系，用盡量簡潔的方法表達出來；另外，解題時要對思維進行及時監控，避免陷入思維定式，在有可能解不下去的情況下及時進行調整.