關(guān)于“求與已知直線夾角為定值的直線方程的定理”一文的疑惑

熊青厚

近日細(xì)讀文[1]，產(chǎn)生了一些疑惑，現(xiàn)述如下，與作者商榷.

疑惑1 文[1]提到課本上求過已知一點(diǎn)與已知直線平行或垂直的直線方程的例題的解題過程分為兩步：先利用兩直線平行或垂直的充要條件求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程.作者認(rèn)為“這種解法解題過程不夠簡練，特別是當(dāng)所給已知直線斜率不存在時(shí)，用上述方法求解這類問題，更使人無從下手”.我認(rèn)為，該觀點(diǎn)有些言過其實(shí)了.理由有四：一是教學(xué)實(shí)踐表明，過一點(diǎn)求直線方程，就需要求斜率，涉及斜率，就得看斜率是否存在，這種思維是一環(huán)套一環(huán)的，學(xué)生容易想到.二是在具體求解過程中，若所給直線斜率不存在時(shí)，不是直接可寫出所求直線方程嗎，怎么就“更使人無從下手”了呢？三是相比直接套用定理寫出所求直線方程，課本上的例題的解題過程“不夠簡練”，但把這種定理的推導(dǎo)和記憶負(fù)擔(dān)加給學(xué)生，有必要嗎？四是直線的斜率是否存在，涉及分類討論思想，這正是培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的大好時(shí)機(jī)，不可省略.

疑惑2 文[1]中的定理1和定理2分別給出了過一個(gè)已知點(diǎn)與一條已知直線平行或垂直的直線方程，其推導(dǎo)過程分已知直線斜率存在或不存在兩種情況討論，然后根據(jù)點(diǎn)斜式或數(shù)形結(jié)合寫出方程，解題思路同課本例題如出一轍.其證明過程甚至略嫌重復(fù)，定理1的證明過程中的“Ⅱ）證明：l1∥l2”“Ⅲ）再證：直線l2過點(diǎn)Mx0，y0”顯得多此一舉.定理2的證明過程中情況類似.

疑惑3 文[1]給出了定理3：過點(diǎn)Mx0，y0且與直線Ax+By+C=0其中A2+B2≠0夾角為θθ≠π2的直線方程是Btanθ-Ax-x0-Atanθ+By-y0=0.

其實(shí)還有一條直線方程應(yīng)為Btanθ+Ax-x0-Atanθ-By-y0=0.導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的根源在于定理3的證明過程中“1）當(dāng)θ≠π2時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，根據(jù)兩直線相交所成角公式tanθ=k+AB1-ABk”應(yīng)為“…tanθ=k+AB1-ABk”，進(jìn)而可得到不同的k.相應(yīng)地，作者將定理2歸結(jié)為定理3中當(dāng)θ=π2時(shí)的特例是不合適的，因?yàn)楫?dāng)θ=π2時(shí)，tanθ沒有意義了.

疑惑4 文[1]中的例1（課本54頁，第9題），利用定理3得到的直線方程為3x+7y-13=0.根據(jù)上文的疑惑3知，正確答案應(yīng)為3x+7y-13=0和7x-3y-11=0.幾何直觀也告訴我們，所求的直線應(yīng)該有兩條.

順便提及，文[1]被寸土寸金的數(shù)學(xué)通報(bào)2012年第2期和第5期兩次登載，是編輯疏忽，還是另有隱情，令人費(fèi)解！

【參考文獻(xiàn)】

[1]張鑫.求與已知直線夾角為定值的直線方程的定理[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（2），2012（5）.

[2]普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（上）[M].北京：人民教育出版社，2004.