利用圓錐曲線的定義解題

董暉

考查平面解析幾何的題目中，圓錐曲線的題目占重要位置，重點考查橢圓、雙曲線、拋物線的相關內容.其中利用橢圓、雙曲線、拋物線的定義解題，能夠考查學生對基本知識、基本方法、基本技能的理解、掌握和應用情況，所以在高考中出現的可能性比較大，并且有些題目用定義解題，步驟也會簡化.

在學習圓錐曲線中，首先要抓住定義，只有真正理解和掌握了定義，才能找到解題思路，避免走入死胡同.

一、選擇題中定義的利用

例1 橢圓x26+y22=1和雙曲線x23-y2=1的公共焦點為F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos∠F1PF2的值是（）.

解 由條件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨設|PF1|>|PF2|），

∴|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.

又 |F1F2|=4，∴cos∠F1PF2=13.

答案 A.

分析 直接計算|PF1|，|PF2|，思路混亂，而且計算量較大.如果用橢圓和雙曲線的定義，解題過程會大大簡化.

例2 F1，F2為橢圓兩個焦點，Q為橢圓上任一點，以任一焦點作∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡為（）.

A痹

B蓖衷

C彼曲線

D迸孜鏘

解 延長F2P交F1Q的延長線于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，則點M（x0，y0）的軌跡方程為

（x0+c）2+y20=4a2.①

設P點坐標為（x，y），∵P為F2M中點，

∴x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.

代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，∴x2+y2=a2.

分析 仔細作圖觀察，利用橢圓定義及角平分線，難題就不難了.

二、填空題中定義的利用

例3 拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標.

解 設待求點的坐標為（x0，y0），由拋物線的定義，得x0+3=9，解得x0=6.代入拋物線方程得y0=±62，所以滿足條件的點為（6，-62），（6，62）.

答案 （6，-62），（6，62）.

分析 利用拋物線的定義，轉化條件，可以減少運算量.

例4 雙曲線的虛軸長為4，離心率e=62，F1，F2分別是它的左、右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項，則|AB|=.

解 ∵|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，

∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.

又 ∵2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，

∴2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，

∴|AB|=82.

分析 此題兩次應用雙曲線的定義，步驟清楚簡單，何樂而不為.

三、解答題中定義的利用

例5 設點F（2，0），動點P到y軸的距離為d，求滿足條件|PF|-d=2的點P的軌跡方程.

解 由題意，得|PF|=2+d.

當P在y軸右側時，為|PF|=x+2，

∴點P在拋物線y2=8x上.

當P在y軸左側時，|PF|=2-x，

有y=0（x<0），

所求軌跡方程為y2=8x（x≥0）和y=0（x<0）.

變式 一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時過點（3，0），求動圓圓心M的軌跡方程.

解 由已知，得（x+3）2+y2=4.

設圓心為A，A點坐標為（-3，0），B（3，0），動圓半徑為R，

得|MB|=R，|MA|=R+2.

因此|MA|-|MB|=2<|AB|=6.

故M點軌跡為雙曲線的右支，且2a=2，2c=6，

即a=1，c=3，b=22.

因此其方程為x2-y28=1（x≥1）.

例5和變式題都是用定義得出軌跡方程的，從這兩道題可以深深體會到定義的重要性.

例6 設橢圓與雙曲線有共同的焦點F1（-4，0），F2（4，0），并且橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的2倍，求橢圓與雙曲線交點的軌跡.

解 設橢圓與雙曲線的交點P（x，y），得

|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.

即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.

將點P（x，y）代入，得

（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.

故所求軌跡為圓心在（5，0），半徑為3的圓，除去（2，0）和（8，0）兩點；或圓心在（-5，0），半徑為3的圓，除去（-2，0）和（-8，0）兩點.

分析 利用圓錐曲線的定義，充分挖掘幾何條件來列方程往往可以使過程變得簡潔.

總之，圓錐曲線的定義，始終是高考的重點，學生學習的要點，解題的依據.