對一道數學高考題的多角度思考

蔣亞軍

【摘要】本文研究了一道函數最大值的求解，從不同的角度進行了詳細剖析以及對各種方法的教學進行了探究.

【關鍵詞】換元；不等式；導數；向量

數學高考題，由于其內在的規律，或由于思考的角度不同，可能會有許多不同的解法.在平時教學中，教師應自覺探求多種解法，這樣可以使我們的學生的基礎知識、基本技能得到訓練，能力得到增強，智力得到開發.在尋求多種解法時，要防止亂碰，而應注意分析，使問題的解決更有條理.下面就以一道高考題為例，探究其解法的多樣性.

（2008年重慶高考題第5題）函數y=1-x+x+3的最大值是.

解法1 平方法.

y2=1-x+x+3+2（1-x）（x+3）（-3≤x≤1）

=4+2-x2-2x+3.

當x=1時，-x2-2x+3有最大值4.

∴y2最大值為8.

∴函數y=1-x+x+3的最大值為22.

評注 平方法是處理根號問題最常用的方法，但卻是考生嫌麻煩最易忽視的方法.本題平方后除從二次函數角度求最大值，也可用基本不等式ab≤a+b22求解.

解法2 換元法.

令1-x=m，x+3=n，（m≥0，n≥0），

則m2+n2=4，

∴1-x+x+3=m+n.

令m=2cosα，n=2sinα，0≤α≤π2，

∴m+n=2cosα+2sinα=22sinα+π4.

當α=π4時，m+n取得最大值為22.

∴函數y=1-x+x+3的最大值為22.

評注 換元法是處理根號問題的第二個常用方法，形如y=ax+b+cx+d的形式一般都是換元轉化成二次函數求解.本題換元后也可以用線性規劃轉化為直線與四分之一圓周相交求解.

解法3 基本不等式法.

由基本不等式a+b≥2ab，（a，b≥0）可推導得出

21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22，（當且僅當a=b時等號成立）.

也即有a+b≤2a2+b22.

∴1-x+x+3≤2（1-x）2+（x+3）22=22，

當且僅當1-x=x+3，即x=-1時等號成立.

評注 因不等式的變形形式較多，考生往往不能熟練運用，因此在平時教學中要多滲透各種形式，甚至把柯西不等式也介紹給學生，雖然考試說明不作要求，但是可以激發學生對不等式的學習興趣.

解法4 導數法.

求導得y′=121-x·（-1）+12x+3.

y2單調遞增22單調遞減2

∴函數y=1-x+x+3的最大值為22.

評注 導數法應該是對函數（可導函數）單調性、最值研究的萬能方法，且導數法應用步驟層式化，因此復合函數的求導最好文科數學的教學也要滲透，所以運用導數研究函數的性質，學生在操作上還是比較容易的.

解法5 向量法.

y=1-x+x+3=1·1-x+1·x+3.

令m=（1，1），n=（1-x，x+3），

∴1-x+x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ，θ∈0，π4.

當m與n同向，即θ=0時，m·n取得最大，

∴[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.

∴函數y=1-x+x+3的最大值為22.

評注 該解法巧妙地用“1”的代換將雙根號與向量的數量積聯系起來，解決起來非常方便.同時也讓學生體會到數學知識之間的本質聯系.若將題目變為求函數y=1-x+2x+3的最大值，此時平方法、基本不等式法就不能做了，換元法可以轉化為橢圓，導數法作為萬能方法仍然適用，但是向量法的解答將十分簡單：

令m=（1，2），n=（1-x，x+3），

∴1-x+2x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ.

當m與n同向，即θ=0時，m·n取得最大，

[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.

用多種方法解答同一道數學題，不僅能更牢固地掌握和運用所學知識，而且通過一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，能夠培養創造性思維能力.多做一些一題多解的練習題，對鞏固知識，增強解題能力，提高學生學習成績大有益處.