淺談函數(shù)值域的求法

徐孝慧

對于步入高一，剛學過函數(shù)的概念、定義域、值域的學生來說，遇到解函數(shù)值域問題時，方法經常會亂套.下面我就對這類學生闡述幾種常見的求函數(shù)值域的方法.

題目 求函數(shù)y=1[]x2+x+1的值域.

問題轉化成：求函數(shù)y=x2+x+1的值域.

1.圖像法

分析 這是一個一元二次函數(shù)，要求它的值域，可以先畫出它的圖像，根據圖像寫出它的值域，這也是求值域的一種方法，稱圖像法.

2.配方法

同時，要畫一元二次函數(shù)的圖像，一般要找對稱軸，當然也就要對函數(shù)表達式進行配方，這里表達式y(tǒng)=x2+x+1可以配成x+1[]22+3[]4，從而直接可以看出y≥3[]4，直接得到原函數(shù)的值域.這種通過配方求得函數(shù)值域的方法，我們稱為配方法.

所以，函數(shù)y=x2+x+1的值域為yy≥3[]4.

注 在用配方法求函數(shù)值域的時候一定要注意等號成立的條件.例如：對于y=x2+1[]x2的配方，它既可以配成x-1[]x2+2，也可以配成x+1[]x2-2，但答案只有一個.

得到了函數(shù)y=x2+x+1的值域，并沒有解決我們例1的問題，還要進一步的去計算，去求倒數(shù).

3.不等式法

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利用不等式去求y的范圍，從而得到函數(shù)的值域，這樣的方法也就稱為不等式法.

以上是通過先求我們熟悉的一元二次函數(shù)的值域，再求原函數(shù)的值域，那么，我們能不能直接去求該函數(shù)的值域呢？

4.判別式法

從函數(shù)本身出發(fā)，這是一個分式表達式，并且該函數(shù)的定義域是一切實數(shù)，也就是說，對于任意的x，此表達式都有意義.如果我們把x看成是自變量，y看成參數(shù)，并把分式等式化成我們熟悉的整式方程，則會得到一個關于x的方程yx2+yx+（y-1）=0，并且方程有根.

解 由y=1[]x2+x+1可化成yx2+yx+（y-1）=0，

由于函數(shù)的定義域為R，所以

注 此方法使用的前提條件比較苛刻，有一定的局限性，原函數(shù)的定義域必須是一切實數(shù)，否則該方法就不可用.所以一般情況下，我們不提倡用此方法.

求函數(shù)y=x-1[]x+2的值域.

分析 這函數(shù)仍然是一個分式的形式，但和例1又有所區(qū)別，它的分子分母都含有x，都是變化的，那么能不能化成和例1形式接近的表達式呢？

5.分離常數(shù)法，又名中間變量求值域法

解 將分式的分子變成常數(shù)：

所以所求函數(shù)的值域為{y|y≠1}.

如果沒有例1的提示，僅僅看這個分式，從表達式上看，可以把y看成是x的函數(shù)，表達式有意義的x的集合就是函數(shù)的定義域；我們也可以把x看成是y的函數(shù)，則使表達式有意義的y的集合就是函數(shù)x=g（y）的定義域，也就是函數(shù)y=f（x）的值域.從而有求y范圍的另一種方法：

6.反表示法

注 ①在本題中未提及函數(shù)的定義域，所以函數(shù)的定義域為使得表達式有意義的x的集合.若對題中的x加上范圍，如x≥-4，則只要解不等式2y+1[]1-y≥-4即可.

②有些時候要從原表達式中解出x比較困難，并且還要解關于y的不等式，計算量會比較大，容易出錯，需要我們有足夠的耐心.