數學歸納法在證明不等式中的應用

熊進

一、數學歸納法概析

隨著近幾年考試命題對于考查學生的探索和歸納問題的能力的側重，很多的考試題目開始廣泛出現了利用數學歸納法進行不等式證明的應用.所謂數學歸納法，是用來證明和自然數有關系的命題的一種特殊技巧和方法，主要用來探討與正整數有關的一系列數學問題，在高考試題和數學聯賽試題中應用非常頻繁和廣泛.數學歸納法的歷史非常悠久，早在1575年就出現了數學家巧妙地利用遞推關系證明出了前n個奇數的總和為n2，以此成功地總結出了數學歸納法的證明.數學歸納法總結起來有四種，分別是第一類數學歸納法、第二類數學歸納法、倒退歸納法（反向歸納法）以及螺旋式歸納法.最常見并且最簡單的數學歸納法是用來證明當n隸屬于全部的正整數時一個數學表達式是否成立，主要由兩個步驟組成：進行遞推的基礎條件是證明當n為1時所要證明的數學表達式成立，進行遞推的依據是證明假如n為正整數m時數學表達式成立，那么當n為m+1時數學表達式同樣成立.此方法包含的原理是由第一步的遞推基礎證明起始數值在數學表達式中能夠成立，然后證明從一個數值到另一個數值的證明過程是有效的，那么任意一個數值的證明都可以包括在這種不斷重復的證明過程中.將這種方法類比于多米諾效應理解起來更容易：對于一排直立著的很長的多米諾骨牌，如果可以確定第一張牌將會倒下，只要是某一個牌倒下了，與它相鄰的下一個牌也會倒下，那么就可以以此確定出相應的遞推關系來推斷所有的多米諾骨牌都會倒下.

二、數學歸納法證明不等式之應用

1.數學歸納法證明不等式的方法

利用數學歸納法來證明不等式的方法可以分為兩個步驟：第一步是驗證當n取第一個初始數值n0時所要證明的不等式成立，第二步是對于任意的正整數k，假設當n的值等于k時不等式能夠成立，以此來證明當n為k+1時所要證明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能夠順利證明完成，那么可以得出結論，即對于所有大于或等于n0的正整數n不等式成立.運用數學歸納法來證明不等式的方法中的這兩個步驟體現了數學中的遞推思想，對于證明格式要求比較嚴格，第一個步驟是遞推思想應用的基礎，第二個步驟是遞推思想應用的依據.而且第二個步驟的變形是不等式證明的關鍵點，需要運用假設方法來作為遞推證明的基礎.利用數學歸納法證明不等式涉及的主要知識點有整除、恒等式、不等式和與幾何教學相關的知識內容.數學歸納法來證明不等式的難點重點在于由n等于k時不等式成立來推出n等于k+1時不等式同樣成立這一步驟.為了順利完成這一步的推斷，不僅僅要合理使用假設和歸納的方法，還要靈活地使用所給問題的其他相關條件和知識，證明時先比較n=k和n=k+1這兩個等式間的共同點和差異，然后決定后者做哪一種變形，再利用分析、放縮、比較、綜合的方法和不等式的傳遞性質來完成證明.

2.數學歸納法證明不等式例析

數學歸納法在證明不等式方面的應用非常廣泛，利用它來證明不等式使用起來簡單容易.在利用數學歸納法證明不等式時，應該比較當n=k和n=k+1時所得出的兩個不等式之間的形式差異，然后決定后者做什么樣的變形能符合條件.一般來說有如下幾個解題方法和策略，首先是要學會活用起始點的位置，這樣可以適當增加起點或者將起點位置前移，這樣可以補充不等式的一些特殊情形，容易驗證；其次可以根據不等式的遞推目標進行適當的分析和放縮，或者引入一些合理的不等式用來過渡，將所要證明內容進行平穩過渡，為目標不等式的證明架橋鋪路.

例如，起點增加和前移的應用：證明對于一切正整數n，都有2n+2>n2成立.

①當n為1時，不等式兩邊顯然成立；

②假設對于正整數k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要證明不等式對于n=k+1也是成立的，即證明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

而2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k+1）2+（k-3）·（k+1），因此只需要（k-3）（k+1）>0原不等式就成立，而這需要有正整數k大于3的條件，因此可以把起點變為n等于3，雖然起點增多了，但是歸納起來卻很方便.因而在步驟①的證明中，需要補充證明n為2和3時，不等式成立.如此一來，步驟②中的（k-3）（k+1）>0成立，則2k+1+2>（k+1）2是成立的，原不等式被成功證明.在利用數學歸納法證明不等式的時候，在證明n等于k+1成立時需要具有明確的目標意識，從而調控和確定證明的方向，逐步減少差異，最終成功證明不等式是成立的.

利用數學歸納法這種方法來證明不等式是一種非常方便的工具，可以有效提高解題效率、優化解題過程甚至可以簡化或者避免一些具體問題.使用數學歸納法進行不等式的直接證明時，因歸納和過渡往往比較困難，如果能巧妙地使用不等式的可加性和傳遞性，適時地使用假設不等式和過渡不等式與目標不等式的特征關系，通過放縮常數和強化命題等技巧，可以順利完成歸納和過渡.另外，在利用它來解決不等式問題時首先要細心地觀察，然后大膽地進行聯想，發現一些內在的聯系從而為解決問題找出方法和途徑.