一元二次不等式恒成立問題解決方法的選擇與應用

錢敏

一元二次不等式在高考中達到C等級，要求系統地掌握知識的內在聯系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.其中一元二次不等式恒成立問題貫穿函數、導數、不等式，綜合性較強，方法靈活，是學生學習中的一大難點.本文就已知一元二次不等式恒成立求其中參數的取值范圍的題型，以2012年高考題為引例，具體說明該題型的幾種常用形式及方法的選擇與應用.

一元二次不等式恒成立求解參數的取值范圍的題型常見的解決方法有兩類，一是把一元二次不等式與對應二次函數相聯系求解，二是分離出其中的參數轉化為最值問題求解.下面就這兩類方法來具體說明.

題型一 一元二次不等式在R上恒成立問題，求參數取值范圍

例1 （2012年福建高考（文））已知關于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是___________.

分析

方法1 與二次函數相聯系.

（1）與二次函數y=x2-ax+2a圖像相聯系理解題意，該二次函數已確定圖像開口是向上的，不等式大于0，即告訴我們要的是拋物線上y>0的點，x∈R即告訴我們所有點的x，合在一起理解即為拋物線上所有點的y都大于零，由此題意思考得出此拋物線開口向上與x軸無交點，即Δ<0，計算a2-4·2a<0，得出0

（2）與二次函數y=x2-ax+2a的最值相聯系理解題意，關于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，即二次函數y=x2-ax+2a的最小值要比0大，由此先得出二次函數y=x2-ax+2a的最小值是頂點處的y即8a-a2[]4>0，同樣得出0

方法2 分離參數轉化為最值問題.

x2-ax+2a>0也可轉化為a（x-2）2，

a>x2[]x-2，x<2，

a∈R，x=2.

最后通過求x2[]x-2的最值得出a的范圍.x>2時，x2[]x-2≥8，由此得出a<8；x<2時，x2[]x-2≤0，由此得出a>0；又x=2時，a∈R.綜合得出0

這里由于最后轉化為求最值問題，則要求學生對于求最值的幾種常見方法較為熟悉.如基本不等式求最值、利用導數和函數單調性求最值等.

這道高考題可運用多種方法來解決，就以上兩類方法來看，可發現這道題運用第一類的方法解決較為簡便，第二類方法由于此題x∈R對于轉化式中的分母要分情況討論，則相對于第一類方法略為復雜了.教會學生在高考中就同一題目怎樣選擇較為簡易適當的方法解決問題，至關重要.

高考原題變形 已知關于x的不等式x2-ax+2a≤0的解集為В求實數a的取值范圍.

分析 變形后的題目理解對于學生來說比原題稍難一點，這要求學生對數學符號、數學語言有一定的理解能力.通過細細讀題，慢慢分析，就可發現變形后的題目與原高考題是同一意思.首先要理解解集為空集是何含義：空集即沒有，不存在的意思，沒有x滿足不等式x2-ax+2a≤0，那x滿足什么呢？即所有的x都應滿足不等式x2-ax+2a>0.由此，原題可轉化為不等式x2-ax+2a>0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍.

高考原題改編題 已知關于x的不等式ax2-ax+2≥0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是___________.

分析 該題不再是單一的一元二次不等式恒成立的問題了，由于x2前的系數a不明確是否不為0，因而要分情況分析了.a=0時，非一元二次不等式，此時題意是否滿足；a≠0時，是一元二次不等式，此時才能運用解決該題型的兩類方法.就一元二次不等式而言，改編后的題并不明確其圖像的開口方向，如要與二次函數圖像相聯系，應根據題意明確開口方向及與x軸交點的情況，通過分析可以發現其開口也應是向上的且Δ≤0.在該題中，學生易犯兩點錯誤：（1）不考慮非一元二次不等式的情況.（2）對于一元二次不等式對應的二次函數圖像不具體分析其開口和與x軸交點情況，僅記憶Δ<0.針對這兩點，教師在平時教學中應注意增加學生自我分析題意的機會，提高學生理解分析題意的能力.

題型二 一元二次不等式在指定區間上恒成立問題

例2 （2012年上海高考（春））若不等式x2-kx+k-1>0對x∈（1，2）恒成立，則實數k的取值范圍是___________.

分析 本題雖對x的范圍有所要求，但兩類方法同樣都適用，只是簡易程度各有不同.

方法1 與二次函數的圖像相聯系，這里即指開口向上的拋物線y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）上的點的y均要大于0，先進行計算發現Δ≥0，對稱軸x=k[]2，再進行計算發現f（1）=0，由此圖形應是下列兩種Δ>0和Δ=0的情況，經過多次圖像分析得出對稱軸x=k[]2≤1，由此計算出k≤2.

也可以與二次函數的最值相聯系，即根據題意二次函數y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）的最小值應大于0，由于這里給出了x的范圍，因此求最值時應就對稱軸是否在區間范圍內進行討論.

方法2 參數分離轉化為最值問題，則不需要過多的計算和分類討論了.x2-kx+k-1>0可轉化為（1-x）k>1-x2，由于這里給出了x的范圍，因此可直接得出k<1+x，直接可由1+x的最值得出k的范圍.由于x∈（1，2），所以1+x>2，因此k≤2.

通過兩類方法的比較可以發現本題運用第一類方法與二次函數相聯系時，需要經過多次計算才能得出符合題意情況相較第二類方法稍嫌繁雜.

通過例1、例2的分析，可以發現一元二次不等式在R上恒成立，求參數取值范圍的題型我們可以優先考慮用第一類方法來解決，這樣一般計算量較少，分析較為簡單；而一元二次不等式在指定區間上恒成立，求參數取值范圍的題型我們則可以優先考慮用第二類方法來解決會較為簡便.當然，這也不是一成不變的.

在平時課堂中，作為教師要多給學生機會獨立思考，獨立做題，培養學生獨立反思的能力，增強學生數學語言的理解能力、數形結合能力、邏輯分析能力、方法篩選能力，讓學生不僅獲得某種題型的解決方法，更是獲得解決問題的一種思維方式.