求函數解析式

樊宏偉

函數的表示方法有語言描述法、圖示法、列表法、解析法，其中，解析法應用最為廣泛.解析法是用函數關系式表示函數的方法，解析式簡單明了，便于用數來研究函數.求函數解析式的方法有多種，常用的方法有下面幾種：

一、代入法

已知函數f（x），g（x），求：f[g（x）].代入法就是將g（x）代入f（x）的x中去，并注意函數f[g（x）]的定義域.

例1 已知f（x）=x2+2x，求f（sinx）.

解 f（sinx）=sin2x+2sinx.

二、待定系數法

已知函數解析式的類型，可設其解析式的形式，根據已知條件建立關于待定系數的方程，從而求出函數解析式的方法.

例2 已知f（x）是反比例函數，且過（1，2）點，求f（x）的解析式.

解 f（x）=kx（k≠0），則有2=k1，解得k=2.

所以f（x）=2x.

小結 我們只要明確所求函數解析式的類型，便可設出其函數解析式，設法求出其系數即可得到結果.類似的已知f（x）為一次函數時，可設f（x）=kx+b（k≠0）；f（x）為二次函數時，根據條件可設

①一般式：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

②頂點式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0），

③雙根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

三、換元法

換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的.

已知f[g（x）]是關于x的函數，求f（x）的解析式，通常令g（x）=t，由此能解出f（t）的解析式，再用x替換t，便得f（x）的解析式.注意：換元后要確定新元t的取值范圍.

例3 已知f（sinx）=sin2x+2sinx，求f（x）的解析式.

解 設t=sinx，則f（t）=t2+2t，所以f（x）=x2+2x.

四、消元法

消元法，指通過消除一些元素，求函數解析式的方法.

例4 設f（x）+2f1x=3x-1，求函數f（x）的解析式.

解 f（x）+2f1x=3x-1，①.令t=1x，則有f1t+2f（t）=3t-1，②，將t換為x，得f1x+2f（x）=3x-1，③.由①③聯立方程組

f（x）+2f1x=3x-1，f1x+2f（x）=3x-1.解得f（x）=2x-x-13.

分析 如果將題目所給的f（x），f1x看成兩個元素，那么該等式即可看作二元方程，根據題意，通過建立方程組，利用消元法求函數解析式.

五、賦值法

通過對某變量取特殊值求函數解析式的方法.

例5 已知函數f（x）的定義域為R，并對一切實數x，y都有2f（x+y）=f（x）+3f（y）+x2-5xy-x，求f（x）的解析式.

解 令y=0，得2f（x）=f（x）+3f（0）+x2-x.

令x=y=0，得2f（0）=f（0）+3f（0），

所以f（0）=0，所以f（x）=x2-x，（x∈R）.

六、函數性質法

利用函數的性質如奇偶性、單調性、周期性等求函數解析式的方法.

例6 已知函數y=f（x）是R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-x，求f（x）的解析式.

解 y=f（x）是R上的奇函數，所以f（-x）=-f（x）.即f（x）=-f（-x），當x<0時，得-x≥0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-（-x）]=-x2-x.

所以f（x）=x2-x，x≥0，-x2-x，x<0.

七、反函數法

利用反函數的定義求反函數的解析式的方法.

例7 （2012年全國卷）函數y=x+1（x≥-1）的反函數是（）.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥1）D.y=x2+1（x≥1）

解 由y=x+1（x≥-1），解得x=y2-1（y≥0）.所以函數y=x+1（x≥-1）的反函數是y=x2-1（x≥0）.因此選A.

八、抽象函數的解析式模型

抽象函數沒有解析式，但很多抽象函數也是由有解析式的函數抽象出來的.

（1）函數y=f（x）滿足f（x±y）=f（x）±f（y）.

解析式模型：正比例函數f（x）=kx.

（2）函數y=f（x）滿足f（xy）=f（x）f（y）.

解析式模型：冪函數f（x）=xα，（α為常數）.

（3）函數y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）.

解析式模型：指數函數f（x）=ax，（a>0，且a≠1）.

（4）函數y=f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y）.

解析式模型：對數函數f（x）=logax，（a>0，且a≠1）.

（5）函數y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y）.

解析式模型：f（x）=tanx.

（6）函數y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0.

解析式模型：f（x）=cosx.

例8 （判斷）函數y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0是（）.

A.奇函數B.偶函數

C.非奇非偶函數D.既是奇函數又是偶函數

用定義來推斷較麻煩，用模型可得是偶函數.選B.