三角函數中諸多公式的歸納記憶

徐長溉

三角函數是數學課程中比較重要的一個組成部分，也是應用數學中必不可缺的基礎知識.凡是學習過三角函數的人無不對諸多的三角函數中的公式所迷茫或困惑.因此，學習好三角函數和熟記三角函數中的公式是密不可分的.三角函數中的公式有幾十個之多，彼此之間又有著千絲萬縷的牽連與差別，倘若我們泛泛地加以記憶確實有點強人所難，力不從心.如果能借助直觀的圖形或者是簡單的口訣解釋理解，并加以歸納整理，找出規律，增加記憶深度，將是我們所要探討的課題和所要達到的目的所在.下面我們就三角函數諸多公式中的一小部分加以歸類并介紹幾種簡單的記憶方法.

一、圖形映記法

在講解同角三角函數的時候，就遇到了同角三角函數之間的函數關系了，即正弦函數sinA，余弦函數cosA，正切函數tanA，余切函數cotA，正割函數secA，余割函數cscA之間的關系.它們之間的關系怎么能比較清楚簡潔地記憶呢？我們不妨借助一個正六邊形來加以輔助記憶.在正六邊形的左上角記上正弦函數sinA，右上角記余弦函數cosA，中間左邊記正切函數tanA，中間右邊的角記余切函數cotA，左下角記正割函數secA，右下角記余割函數cscA.這樣六個角就對應了六個三角函數.然后在六邊形的中心點畫一個圈，分別與六個角連線，圈的里面寫個數字“1”.這樣一個大的六邊形就被分成了六個小的等邊三角形了.其中有三個是“正”三角形（就是一個尖在上面的）.三個是“倒”三角形（就是一個尖在下面的）.把三個倒三角形涂上陰影，用以表示面積所用.因為面積我們都習慣用平方來表示.所以公式中出現平方的時候就要用到用以表示面積的部分來表達了.這樣的準備工作做好了之后，就可以借助這個六邊形對同角三角函數之間的關系來記憶了.首先是對角之積為“1”.即正弦函數與余割函數之積為1，sinA·cscA=1；余弦函數與正割函數之積為1，cosA·secA=1；正切函數與余切函數之積為1，tanA·cotA=1.其次是商的關系.以中間的正切函數和余切函數為中心，正切函數上下分別往右，左邊的函數除以右邊的函數就等于正切函數，tanA=sinA[]cosA=secA[]cscA.以余切函數為中心，余切函數上下分別往左，右邊的函數除以左邊的函數就等于余切函數，cotA=cosA[]sinA=cscA[]secA.再者就是平方和關系.三個倒三角上面的兩個頂角的平方和等于底角的平方.即正弦函數的平方加上余弦函數的平方等于1的平方，sin2A+cos2A=1；正切函數的平方加上1的平方等于正割函數的平方，tan2A+1=sec2A；1的平方加上余切函數的平方等于余割函數的平方，1+cot2A=csc2A.由此，我們只要在腦海里印記了一個正六邊形，同角三角函數之間的所有關系也就相應地映記在腦海里了.

二、口訣解釋法

在講解三角函數誘導公式的時候，九組三十六個誘導公式單獨的記憶就有一定的難度.那么我們歸納分析后可以看出，凡是誘導公式中括號里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之類的角）所落在坐標軸的位置不同，等號后面的三角函數與等號前面的三角函數的名稱有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何規律呢？而等號后面的正負符號也不盡相同.這又有何規律呢？通過觀察、歸納，我們可以簡單的用兩句話、十個字來佐以記憶.這就是“縱變橫不變，正負看象限”.那么，這十個字、兩句話怎么理解就顯得尤為重要了.首先，什么叫縱，什么叫橫？就是定角所落在坐標軸的位置，如果定角落在坐標軸的橫軸上，就叫做橫，如π或者2π的終邊就落在了橫軸上了，所以就叫做橫了.同理可知縱.那什么叫變和不變呢？就是等號左右的三角函數名稱變和不變.“縱變橫不變”就是指的是如果定角的終邊落在了坐標軸的橫軸上了，那等號兩邊的三角函數的名稱就不變，如果定角的終邊落在了坐標軸的縱軸上了，那等號兩邊的三角函數的名稱就改變.那變和不變，怎么變，怎么不變呢？變就是等號左邊的要是正弦函數，那等號右邊就是余弦函數，等號左邊是正切函數，那等號右邊就是余切函數了.這就是縱變橫不變的解釋理解.所以我們先要觀察定角終邊落在坐標軸的什么軸上，然后根據口訣就知道等號左右的三角函數名稱是否改變了.其次是“正負看象限”.正負指的是等號右邊三角函數前面的正負符號.看象限是看誰的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.這里A雖然是任意角，但我們仍然要把這個任意角A看成是一個銳角.這里特別要強調的是“看成”.任意角就是任意角，無論是什么角，我們況且都可以把它先看成是銳角.這樣，一個定角和一個銳角所在的象限就確定了.那么這個角和等號左邊的三角函數所在的象限的三角函數符號就能確定了.所以等號右邊的正負符號就由此來確定了.那么這樣，等號左邊的三角函數和括號里的定角與任意角的和或者差的誘導公式就可以由前面的“縱變橫不變，正負看象限”得到等號右邊的一個任意角的三角函數值了.這樣，我們只要能記住理解這兩句話.十個字就可以把三十六個誘導公式熟練的記住了.比如我們要求：cot（π-A）=？首先我們來確定定角π的終邊所落的坐標軸是在橫軸上了，由“縱變橫不變，正負看象限”，那么我們就可以判定等號右邊的三角函數的名稱沒變，即左邊是余切函數cot（π-A），那右邊也一定是余切函數cotA.再者我們來判斷等號右邊的正負符號，我們看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限內余切函數是負值，所以等號右邊就應該是負號了，即cot（π-A）=-cotA.

三、定位記憶法

定位法就是先將我們要熟記的公式模式定位.比如，我們要熟記和差化積的公式.如：

首先將sinA+sinB，sinA-sinB，cosA+cosB，cosA-cosB豎列定位.然后我們再依次在等號的右邊把2sincos，2cossin，2coscos， 2sinsin加以定位.這樣我們就可以永久的記住它們之間的排列對應關系了.然后再來定位角的關系.等號左邊都是一樣的兩個角A，B，等號右邊也都是兩個角的和及兩個角的差的二分之一A+B[]2，A-B[]2.按照定位的方法依次嵌入等號右邊兩個對應的函數之內，最后我們再記憶符號，前三個都是正號，只有最后一個是負號.這樣我們對和差化積的公式有較深的記憶印象了.記住這個對應關系后，我們反過來就可以記憶積化和差的公式了.

由此我們可以看出函數的排列順序和對應關系沒變，符號沒變，只有對應的數字和角之間的關系有了一點點的變化.這樣對于和差化積、積化和差的三角變換公式就有了較為明晰的記憶效果了.

綜上所述，三角函數中的公式雖然繁雜，但我們只要能采用切合實際、直觀有效、簡單易行的借助記憶形式就能從中找到較為簡潔的記憶方法，從而就能深刻熟記和掌握其中的變化規律.得一點津，受用終生.當然，記憶方法遠遠不止于這點點滴滴，這只是浩瀚大海中的一滴水，實踐中還能探索到更多的簡潔實用的記憶方法.熱誠期盼有識之士有更多的靈招妙法呈現于世，使三角函數的學習有一個捷徑之梯.本人不才，所錯難免，望同行賜教共勉.