無理函數積分的一些方法

常軍

【摘要】給出無理函數積分的幾種方法，對提高學生解題能力、發展學生思維能力有一定意義.

【關鍵詞】無理函數；積分；方法

對于無理函數的積分，一般高等數學教材中只介紹了變量替換法和求被積函數中含有簡單根式x2±a2和nax+bcx+d等情形.但實際遇到的有些無理函數積分問題，利用變量代換計算往往比較復雜，有些甚至還無法計算，雖然利用積分表可以查到結果，但從培養學生思維能力的角度講并無益處.現把無理函數的積分歸納為以下幾種方法，對提高學生解題能力、發展學生思維能力有一定意義.

一、湊微分法

例1 求А襵+3x2+6x+4dx.

解∫x+3x2+6x+4dx=12∫d（x2+6x+4）x2+6x+4=x2+6x+4+C.

例2 求∫dxx+x2 .

解

∫dxx+x2=∫1x+1xdx=∫1x+1x+11x+x+1dx=2∫1x+x+1d（x+x+1）=2lnx+x+1+C.

二、分項積分法

例3 求∫x2x2+1dx.

解 ∫x2x2+1dx=∫x2+1-1x2+1dx=∫x2+1dx-∫1x2+1dx=12[xx2+1-ln|x+x2+1|]+C.

三、分部積分法

例4 求∫x+x2dx.

解

∫x+x2dx=xx+x2-∫（1+2x）x2x+x2dx=xx+x2+12∫xx+x2dx-∫x+x2dx.

∫x+x2dx=12xx+x2+14∫xx+x2dx=14x+x2（2x+1）-18lnx+12+x+x2+C.

四、換元法

例5 求∫31+4xxdx.

解

設t=31+4x， 所以 x=（t3-1）4dx=12t2（t3-1）3dt.∫31+4xxdx=12∫（t6-t3）dt=127t7-3t4+C=127（1+4[]x）73-3（1+4[]x）43+C.

五、歐拉代換法

例6 求∫x31+x2dx.

解

令1+x2=xu-1，則x=2uu2-1 dx=-2u2+2（u2-1）2du. ∫x31+x2dx=-16∫u3（u2-1）4du=-8∫u2-1+1（u2-1）4d（u2-1）=4（u2-1）2+83（u2-1）3+C=x4（1+1+x2）2+x63（1+1+x2）3+C.

雖然無理函數的積分比較復雜，但通過典型題目的訓練，認真分析、總結，是可以達到熟練掌握無理函數積分的教學要求的.從被積函數的特點出發尋找不同的處理方法，從中去探索、發現數學規律，充分調動學生學習的主動性，培養學生的創新能力.在高等數學教學過程中滲透創新能力的培養，這是素質教育的要求，數學創新教育主要是發展學生的思維能力，使他們在數學問題的探索中有新的發現，在數學方法上有所創新，在思維層次上有新的提高.