論析三角函數典型錯解問題

齊志華

【摘要】三角函數作為數學的重要章節，多年來，很多學生在解題時往往考慮不周，過程及結果看似正確，實質錯誤，極易麻痹人.下面僅以幾例作以剖析，望廣大師生引起注意.

【關鍵詞】三角函數；錯解；分析

1.忽略另外情況

例1 已知函數f（x）=asinx+b的最大值為3，最小值為2.求a，b的值.

錯解 因為sinx的最大值為1， 最小值為-1 ，所以a+b=3，且-a+b=2，所以a=12， b=52.

分析 上述為a>0時的情況，忽略了當a<0時，-a+b=3，且a+b=2，得a=-12， b=52.

2.忽略隱藏條件

例2 在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1.求角C 的值.

錯解 把已知的兩個條件分別兩邊平方后，化簡再相加，整理得sin（A+B）=12，所以sinC=12，所以C=π6或5π6.

分析 若C=5π6 ， 則A+B=π6， 又因為1-3cosA=4sinB>0， 所以cosA<13.

而13< 12，所以A>π3，所以C≠5π6.顯然條件cosA<13 比較隱藏.3.忽略角的范圍

例3 設方程x2+33x+4=0的兩根為x1和x2 ， 且α=arctanx1，

β=arctanx2. 求α+β的值.

錯解 由已知得x1+x2=-33， x1x2=4， 且x1=tanα，x2=tanβ.

故tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=x1+x21-x1x2=3.因此α+β=π3.

分析 此題忽略了α，β的范圍.事實上，由x1+x2 <0， x1x2>0，知x1 <0，x2<0，所以α，β∈-π2，0，從而α+β∈（-π，0），所以α+β=-2π3.

4.忽略應用公式的前提條件

例4 求函數y=（sin2x +1）（cos2x+2）的最大值.

錯解 [HT]因為（sin2x +1）（cos2x+2）≤sin2x+1+cos2x+222=4，所以y≤4， 所以y的最大值為4.

分析 這里忽略了均值定理等號成立的條件，實際上sin2x+1≠cos2x+2，并不是恒相等，所以不能應用均值定理做.

正解 y=（sin2x+1）（3-sin2x）= -（sin2x-1）2 +4，故當sinx=±1時，y的最大值是4.

5.忽略函數的定義域

例5 求函數y=sinxcosxsinx+cosx+1 的值域.

錯解 令sinx+cosx=2sinx+π4=m，m∈＼[-2，2＼] ，有2sinxcosx=m2-1，

于是y=12（m2-1）m+1=12（m-1）.所以y∈-22-12，22-12.

分析 此題忽略了原函數的定義域是sinx+cosx≠-1，即m≠-1.故m∈-2，-1）∪（-1， 2 .

可求得y∈-22-12，-1 ∪-1， 22-12.

6.忽略三角形性質

例6 在△ABC中，cosA=35，sinB=513，求cosC的值.

錯解 [HT]由cosA=35，得A∈0，π2，且sinA=45.

由sinB=513，得B∈（0，π），且cosB=±1213.

因此cosC=cos＼[π-（A+B）＼]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-1665或5665.

分析 若B∈π2，π，則π-B∈0，π2.由sin（π-B）=sinB=513<45=sinA，

得π-Bπ，錯誤.

所以B∈0，π2，cosB=1213，求得cosC=-1665.

7.忽略復合函數

例7 先將函數y=sin2x的圖像向右平移π3個單位長度，再將所得圖像作y軸的對稱變換，求所得的函數圖像解析式.

錯解 很多學生回答所得的函數圖像解析式是y=sin-2x-π3.

分析 將函數y=sin2x的圖像向右平移π3個單位長度，寫成了y=sin2x-π3，

這明顯是不對的.主要是忽略了y=sin2x是復合函數，它與y=sinx的

橫坐標變化是2倍關系，因此平移與x的系數有著直接的變化關系.正解是 y=sin-2x-2π3.另外判斷三角函數單調性時也要注意復合函數的問題.