淺議極限運算方法

薛秋

【摘要】在高等數學中，函數的極限是最基本、最重要的內容之一.由于初學者在學習時會碰到不少困難，且極限知識掌握與否直接關系到后繼課程的學習，本文就電大的教學要求，談談極限的基本運算方法，以便幫助電大學生盡快地掌握極限的相關內容.

【關鍵詞】高等數學；極限；運算方法

在高等數學中，極限是最基本、最重要的內容之一，由于極限的產生解決了數學中量的均勻變化與非均勻變化的矛盾；同時也解決了有限量與無限量的矛盾，從而使微積分中的一些基本概念有了更為確切的定義，因此成為研究高等數學的基本方法.本文根據電大的教學要求，談談極限的基本運算方法.

一、利用極限四則運算法則及初等函數的連續性求極限

1.當分母不為零時，可根據初等函數的連續性，用直接代入法求極限

例1 limx→12x2-x+53x+1=2-1+53+1=32.

2.當出現“00”型時，可用分解因式法或有理化方法消去零因子，然后求極限

例2 limx→3x2-5x+6x2-9=limx→3（x-2）（x-3）（x-3）（x+3）=limx→3x-2x+3=16.

例3 limx→01+x-1x=limx→0（1+x-1）（1+x+1）x（1+x+1）=limx→0xx（1+x）=limx→011+x+1=12.

3.當出現“∞∞”型時，可用分子分母同除以x的最高次方，然后求極限

例4 limx→∞3x2-2x+1x2+6x+5=limx→∞3-2x+1x21+6x+5x2=3.

4.當出現“∞-∞”型時，可轉換成“00”或“∞∞”型，然后求極限

例5 limx→12x2-1-1x-1=limx→12-（x+1）x2-1=limx→11-xx2-1=limx→1-1x+1=-12.

5.當出現數列求和時，可先利用數列的求和公式將其變形，然后求極限

例6 limx→∞1+2+…+nn+2-n2=limx→∞n（n+1）2（n+2）-n2=limx→∞-n2（n+2）=limx→∞-n2n+4=-12.

二、利用兩個重要極限求極限

例7 limx→4sin（x-4）x2-16=limx→4sin（x-4）（x+4）（x-4）=limx→4sin（x-4）x-4·limx→41x+4=1×18=18.

例8 limx→0ln（1+x）x=limx→0ln1+x1x=lnlimx→01+x1x=lne=1.

三、利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量這一性質求極限

例9 limx→0x3sin1x.

解 因為limx→0sin1x不存在，故不能直接用極限的四則運算法則求極限，注意到limx→0x3=0，

且sin1x≤1，所以limx→0x3sin1x=0.

例10 limx→∞x-1x2+x-5（2+cosx）.

解 因limx→∞x-1x2+x-5=0，且2+cosx≤3，所以limx→∞x-1x2+x-5（2+cosx）=0.

四、利用變量代換求極限

例11 limx→0arctanxx.

解 令t=arctanx，當x→0時，t→0，

所以limx→0arctanxx=limt→0ttant=1.

例12 limx→0xex-1.

解 令t=ex-1，則x=ln（t+1），當x→0時，t→0，

所以limx→0xex-1=limt→0ln（1+t）t=limt→0ln（1+t）1t=lne=1.

五、利用等價無窮小求極限

例13 limx→0ln（1+sinx）3arctanx.

解 當x→0時，有arctanx～x，ln（1+sinx）～sinx，

所以limx→0ln（1+sinx）3arctanx=limx→0sinx3x=13.

例14 limx→0sin6xsin3x.

解 當x→0時，有sin6x～6x，sin3x～3x，

所以limx→0sin6xsin3x=limx→06x3x=63=2.

【參考文獻】

[1]李林曙，黎詣遠.微積分[M].北京：高等教育出版社，2005（7）.

[2]柳重堪.一元函數微積分[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2000（7）.