例說構建策略在解題中的一些應用

雷曉宏

【摘要】構建策略就是在探索解題途徑時，利用題目提供的信息，把要用到的各個局部知識按一定的步驟組織起來，建立知識體系（在這個過程中，思維的構造活動的特點是構建），從而獲得解題的思路，但數學題目數不勝數，并且新知識層出不窮，有些題目的解法獨特、技巧性很強，因此，確定恰當的解題策略已成為解題的關鍵，本文就構建策略在解題中的一些應用以例子的形式說出.

【關鍵詞】構建策略；應用

一、構建函數（模型）解題

例1 證明不等式ex>1+x， x≠0.

證明 構建函數f（x），使f（x）=ex-1-x，則f′（x） = ex-1.故當x>0時，f′（x）>0，f（x）嚴格遞增；當x<0時，f′（x）<0， f（x）嚴格遞減.又由于f（x）在x=0處連續，則當x≠0時，f（x）> f（0）=0， 從而證得ex>1+x， x≠0.

例2 解不等式x2-3x（x-2）（x+1）<0.

分析 原不等式屬于分式型不等式，直接解它不方便，不妨構建函數f（x），g（x），且使f（x）=x2-3x，g（x）=（x-2）（x+1），于是有f（x）g（x）<0，從而 f（x）·g（x）<0，此時可借助二次函數的圖像來做.

解 構建函數f（x），g（x） ，且使f（x）=x2-3x，g（x）=（x-2）（x+1），它們在同一直角坐標系中的大致圖像如圖所示，根據圖像可知：

二、構建輔助元素解題

例3 已知a，b，c是互不相等的三個數，求方程組x+ay+a2z=a3，x+by+b2z=b3，x+cy+c2z=c3的解.

分析 原方程組是三元一次方程組，若直接用消元法解，則很麻煩，考慮到三個方程的結構是一致的，不妨可構建輔助元素m.

解 將原方程組化為以下形式

a3-a2z-ay-x=0，b3-b2z-by-x=0，c3-c2z-cy-x=0.

構建輔助元素m，且使m3-m2z-my-x=0，那么a，b，c就是方程m3-m2z-my-x=0的三個根，由一元三次方程根與系數的關系知：

a+b+c=z，ab+bc+ac=-y，abc=x.

因此，原方程組的解是x=abc，y=-（ab+bc+ac），z=a+b+c.

說明 設一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三個根為x1，x2，x3，則方程的根與系數之間存在下列關系：x1+x2+x3=-ba，x1x2+x1x3+x2x3=ca，x1x2x3=-da.

三、構建方程（組）解題

例4 在大數學家歐拉《代數引論》里有一個農婦賣雞蛋的題目：兩個農婦一共帶有100個雞蛋上市，兩人所帶雞蛋數不同，但賣得的錢數一樣，于是第一個農婦對第二個說：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣得15個銅板.”第二個農婦答道：“但是你的雞蛋如果換給我，我就只能賣得203個銅板.”試問：這兩個農婦各有多少個雞蛋？

分析 假設第一個農婦有x個雞蛋，每個雞蛋賣y個銅板，則第二個農婦有（100-x）個雞蛋，每個雞蛋賣xy100-x個銅板，根據題意可構建出方程組（100-x）y=15，x·xy100-x=203.解該方程組可求出x.

例5 對于實數x，y定義一種新運算※：x※y=ax+by+c，其中a，b，c為常數，等式右邊是通常的加法與乘法運算.

已知3※5=15，4※7=28，那么1※1=.（江西贛州地區初三數學競賽題）

分析 由x※y=ax+by+c易知3※5=3a+5b+c，4※7=4a+7b+c，但單獨由3a+5b+c=15或單獨由4a+7b+c=28，既求不出a，又解不出b，所以需構建方程組來解.

解 由新運算的定義及題設得3a+5b+c=15，4a+7b+c=28，解此方程組得a=-35-2c，b=24+c.因此，1※1=a+b+c=-11.

四、構建幾何圖形解題

例6 分解因式3x2+10x+3.

分析 此題若按常規方法做，則可用十字相乘法或需將3x2+10x+3對應的方程3x2+10x+3=0的根先求出，然后套用公式.若不用上述方法做，而是通過構建幾何圖形來做，則既直觀，又富有啟發性.具體操作過程如下：

畫3個邊長為x的正方形，10個長為1、寬為x的矩形，3個邊長為1的正方形，將這16個圖形構建成如圖所示的矩形，則該矩形的寬為3x+1， 長為x+3.

由于構建前后的面積不變，所以3x2+10x+3=（3x+1）（x+3）.

五、構建不等式（組）解題

例7 求函數y=x+2x2+5x+6+log2（x2-4x+3）+arcsinx+（6x2+4x+1）0中自變量x的取值范圍.

分析 原函數中的自變量x既要使x+2x2+5x+6，log2（x2-4x+3），arcsinx有意義，又要使（6x2+4x+1）0有意義，故可通過構建不等式組x+2≥0，x2+5x+6≠0，x2-4x+3>0，-1≤x≤1，6x2+4x+1≠0來解.

六、構建表格解題

例8 解不等式x2-3x（x-2）（x+1）<0.

分析 原不等式等價于以下兩個不等式組

x2-3x<0，ぃ▁-2）（x+1）>0，或x2-3x>0，ぃ▁-2）（x+1）<0.

但解一元二次不等式組比較麻煩，我們不妨采用構建表格的辦法解決，具體操作過程是：先把分子、分母分解因式，然后列表觀察x取不同數值時，各個因式的值取什么符號，從而找出原不等式的解.

解 將原不等式化為x（x-3）（x-2）（x+1）<0的形式.構建如下表格：

∴原不等式的解是-1

關于構建表格解題的說明：（1）在討論時，先把各因式的根求出來，然后把它們作為分界點，將整個數軸劃分成若干個區間來進行.

（2）為了便于討論起見，在構建表格時，應當把各因式按照它們的根的值從小到大的順序排列.