排列、組合的教學應注重能力培養

陳美高

【摘要】本文從排列組合的知識具有比其他一般內容更加抽象，有關應用題的思考性又很強以及對計箅的結果是否正確往往難以作出準確判斷等這些特點出發，從七個方面論述了如何挖掘教材內涵，培養相應能力，達到教學目標的問題：

一、借助具體手段，打好感性認識基礎

二、抓住本質特征，提高鑒別能力

三、按題意設計解題方案，培養層次思維能力

四、把問題引申推廣，發展抽象能力

五、培養從多方面探索同一問題解法的能力

六、剖析典型錯誤，不斷總結提高

七、培養綜合運用知識的能力

排列組合是中學數學教學中教與學的一大難點.從表面上看，排列組合問題中盡是些“應用題”，所進行的計算并不難，但在做題時學生可能會感到力不從心，似乎無章法可依，無公式可用，對自己的算法和計算結果正確與否心中無底.這部分知識比較抽象，有關應用題的思考性比較強，學習它需要細致的審題，周密的思考，精確的判斷和較強的思維能力.因此，培養相應能力是學好排列組合的關鍵.本文就此談一些粗淺的看法.

一、借助具體手段，打好感性認識基礎

排列組合的教學，“兩個原理”是學習的基礎，并貫穿于整個內容之中.在引入“兩個原理”及排列數、組合數公式的初始階段，一定要讓學生具體去數、去排，按照一定的原則，有規律地，不重不漏地將各種情況分類列舉出來，打下堅實的感性認識基礎，讓學生從具體列舉中去體會，去理解.若過早地就抽象為法則、公式，讓學生套用，不求甚解，對結論是否正確毫無信心，這并不能使學生真正獲得解題的思考方法.這種壞習慣一旦養成，將會后患無窮.為此，在學習“兩個原理”時，可安排如下練習：

1.連接A，B，C，D四個城市的道路如圖所示，

從A到C的走法有多少種？具體寫出這些走法.（3×2+2×1=8（種））

2.用1，2，3三個數字組成三位的自然數，就下列情況畫出樹圖，求所組成自然數的個數.（1）數字可重復出現；（2）各位數字都不相同.

（（1）27個 （2）6個）

在教學時要求學生有規律地、不重不漏地列舉，并注意孕伏排列、組合問題的因素.其中樹圖對這樣列舉所有排列是較好的工具，要注意發揮它的作用.

二、抓住本質特征，提高鑒別能力

排列組合問題的難點：不易區別排列還是組合；在計算時，用加法還是用乘法；對n、m，在題中哪個是n，哪個是m等.因此要解決這些難點，必須抓住本質特征，弄清各量的聯系與區別，提高鑒別能力.

首先，抓住本質，分清區別.例如，通過實際問題列舉與計算，使學生領會：使用加法原理的事件是獨立事件，而使用乘法原理的事件則是相關聯的.排列與組合的區別主要看問題是否與順序有關.

其次，避免練習單一，即學習排列問題只做排列的練習，學習組合問題只做組合的練習，要同時出現，通過對比來提高學生的分辨能力.

下面是幾個通過對比提高鑒別能力的練習題：

1.（1）四名學生分配到三個車間去勞動，有幾種分配方法？（N=34=81（種））

（2）四名學生爭取三項競賽冠軍，獲得冠軍有幾種可能？（N=43=64（種））

這兩個小題難于區分，關鍵在取哪一個做基數n.

2.三本不同的書，分給A，B，C，D，E五個人中任三人，每人一本，有幾種分法？如果三本書相同的呢？（前者是排列問題N=A35=60（種），后者是組合問題N=C35=10（種））

三、按題意設計解題方案，培養層次思維能力

解排列組合問題，往往需要按題意設計一個合理的解題方案，以達到準確、迅速解題的目的.

例1 三封不同的信，有四個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？

信和信箱涉及兩個問題，可把信看作元素，信箱看作位置，這就把兩個問題轉化為排列組合問題中的兩個基本要素，按題意可設計這樣一個解題方案：

（1）以元素為主（信），分析各種可能：

第一步：投第一封信，有4種不同的投法.

第二步：再投第二封信，也有4種不同的投法.

第三步：最后投第三封信，仍有4種不同的投法.

因此，投信的方法共有N=4×4×4=43=64（種）.

（2）以位置為主（信箱），分析各種可能：

第一類：四個信箱中的某一個信箱有3封信，有投信方法N=C14C33種.

第二類：四個信箱中的某一個信箱有2封信，而另一個信箱有1封信，有投信方法N2=C24C23A22種.

第三類：四個信箱中的某三個信箱各有1封信，有投信方法N3=C34P33種.

投信方法總數有：N=N1+N2+N3=4+36+24=64（種）.

在解決排列組合問題中運用的排除法、整體思維法、插空檔法等，實際上都是按題意設計解題方案的方法，通過對比、鑒別、提煉，逐步找到最好的解題方法.

四、把問題引申推廣，發展抽象能力

從簡單而具體的、看得到的、舉得出的問題入手，總結出規律，并加以引申推廣，這是排列組合教學中培養學生抽象能力的有效途徑.

例2 圖1、圖2各有多少個平行四邊形？圖3呢？

圖1共有N1=C23C23=9（個），圖2共有N2=C23C24=18（個），圖3共有N3=C210C212=2970（個）.

五、培養從多方面探索同一問題解法的能力

一題多解是排列組合問題的一個顯著特點，從多方面探索同一問題的不同解法，不僅可以開闊思路、豐富想象力、提高解題能力，還可以借此檢驗計算結果，解決當答數較大時，對結果不便直接檢驗的難點.

例3 6名同學站成一排，其中某一名不站在排頭，也不站在排尾，共有多少種排法？

用符號×△△△△×表示6個位置，按題意，某同學不能站在×上.

解法一 把某同學排在位置△上，有A14種方法，其余5人排在剩下的5個位置上，共有A14A55=480（種）.

解法二 從某同學以外的5人中，任選2人排在位置×上，有A25種排法，其余4人排在剩下的4個位置上，故共有A25A44=480（種）.

培養多種解法的能力，一是可以活躍思路，訓練發散思維能力；二是可以驗證判斷解題是否正確合理.

六、剖析典型錯誤，不斷總結提高

排列組合應用題最常見的解題錯誤來自兩個方面：一是“有序”和“無序”問題，二是“重復”和“遺漏”問題，解題時稍有不慎就容易出錯，因此要教會學生從錯誤中發現問題，總結經驗，不斷提高解題水平.

例4 從平面M上取出5個點，從平面N上取出4個點，利用這9個點最多能決定多少個三棱錐？

錯解 從平面M上選出三點作為錐底三角形的三個頂點，從N上選取一點作為錐頂，這樣可以決定C35C14個三棱錐，同理把底選在N上，把錐的頂點選在M上，又可以決定C34C15個三棱錐，故總共可決定C35C14+C34C15個三棱錐.

分析 考慮不全面犯了錯誤，顯然遺漏了在M，N上各選取兩點時所能決定的三棱錐，正確的解應再加上C25C24.

正解 最多能決定C35C14+C34C15+C25C24=120（個）三棱錐.

七、培養綜合運用知識的能力

人們在工作中往往必須把學過的各種知識糅合在一起用于解決實際問題，這種綜合運用知識的能力必須在中學時代加以培養，這塊內容中也為我們提供了這方面的材料.

例5 從1，2，3，4，7，9六個數字中任取兩個作為一個對數的底數和真數，可以得到多少個不同的對數值？

這個問題要用到對數的定義、性質loga1=0及換底公式的推論logab=loganbn，才能得到正確答案：A25-4+1，即17個不同的對數值.

教材中培養學生能力的材料俯拾皆是，有時通過一個題目往往可以培養學生多方面的能力，教學中若能積極發掘充分利用，對于解決難點，提高學生能力，達到教學目標，必將起到積極作用.

【參考文獻】

[1]周沛耕，著.怎樣學好高中數學.北京：科學出版社，1996.

[2]丁爾升主編.高中數學教學指導書（人教版）.1988.