從概念的本質來理解概念的內涵與外延

顧筠筠

善于解剖概念，強調概念中的關鍵詞語，從中透徹理解其內涵——概念中對象的本質屬性，它是概念質的方面，以及其外延——概念的適應范圍，它是概念的量的方面.

幾何概型是中學數(shù)學在概率部分新增的內容，怎樣深刻理解幾何概型的內涵，使解幾何概型問題正確化與簡單化，從而不致引入誤區(qū)？幾何概型在蘇教版《數(shù)學3》（必修）第101頁上作了詳細的定義，據此，幾何概型的內涵是事件的等可能性和無限性，筆者認為這里的“等可能性”是指基本事件出現(xiàn)的機會可能性相等，“無限性”是指基本事件有無限多個，它并不是解決幾

何概型問題的關鍵，而主要是用來判斷該事件到底是幾何概型還是古典概型.同時在蘇教版《數(shù)學3》（必修）第104頁中指出：“由此可見，背景相似的問題，當?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r，其概率是不一樣的.”話雖然不錯，但給人的感覺好像是解決幾何概型問題要從基本事件出現(xiàn)等可能的角度去解決.我認為這是完全沒有必要的，可以說是把一個簡單問題復雜化，將解決幾何概型問題引入誤區(qū)，解決幾何概型問題關鍵仍然是抓好“事件”并將其“幾何化”，這就是概念的本質.先來看蘇教版《數(shù)學3》（必修）第102頁例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.這里的一個基本事件是在斜邊AB上取一個點M，它符合幾何概型定義，所以區(qū)域D是線段AB，其測度為線段AB的長度，區(qū)域d為線段AC′（AC′=AC），其測度為AC′的長度，所以該事件的概率為2[]2.

下面看蘇教版《數(shù)學3》（必修）第104頁第6題：如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

應用一個新的定義去解決問題時，只要抓住定義的本質，弄清它的內涵及外延，深刻理解定義中每句話的含義，對難理解的語句，可以通過實例不斷幫助學生理解.如幾何概型定義“……事件A發(fā)生的概率與區(qū)域d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關……”，這里的“與形狀和位置無關”，學生不易理解，我們可以舉下面的例題：甲乙兩人各自在田徑場上400米長的跑道上跑步，求在任一時刻兩人在跑道上相距不超過50米（彎道時指跑道上曲線長度）的概率.很顯然這是一個幾何概型問題，一個基本事件是甲乙兩人在跑道上的位置，記“兩人在跑道上的距離不大于50米”的事件為A，而事件A發(fā)生是甲乙兩人在跑道上的距離差不超過50米，可作如下兩種角度思考：思考一，先假設甲在跑道上C處（C的位置是任意的），如圖1，

事件A發(fā)生，乙只要在甲前后50米之內，這種思考方法D的測度為400米，d的測度為100米，∴P（A）=1[]4.思考二，為方便計算甲乙之間的距離，我們不妨以跑道上O為起點，與O逆時針方向計算距離，設甲與O的距離為x米，乙與O的距離為y米，事件A發(fā)生就是x，y滿足

如圖2.這種思考方法是將區(qū)域D視為正方形，測度是正方形的面積4002 m2，而事件A發(fā)生是指落在滿足條件不等式組（1）或（2）的區(qū)域d內，由線性規(guī)劃知識，易知區(qū)域d是圖中陰影部分，其測度為（4002-3502+502）m2，∴P（A）=4002-3502+502[]4002=1[]4.

上面的兩個思考方法說明解決同一個幾何概型問題，思考角度不同，區(qū)域D（d）也會有所不同，從而說明事件發(fā)生的概率與d的形狀和位置無關，只與d的測度成正比.

聯(lián)想、思考：進入新課程，對概念教學還采用老的“一個定義，幾項注意”的方式是很不夠的，應給學生提供充分的概括本質特征的機會，明確概念所反映的對象具有什么本質特征，只有對概念的內涵和外延都有了準確的了解，才能說明已經明確了概念.當然一個概念的學習，對概念的理解與掌握，還需在概念課的后繼課中不斷反復應用，不斷加深理解，從根本上改變概念課教學中“單調乏味”及“死記硬背”的錯誤傾向，引導學生自主發(fā)現(xiàn)，歸納總結，正如波利亞指出的“學習最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.只有這樣，才能使學生分析問題和解決問題的能力不斷提高.