高中數學函數教學的思考和對策

季小冬

函數是高中數學連接各個知識點的橋梁，是高中數學學習的基礎，也是重難點知識之一，因此學好函數是進一步學好高中數學的奠基石.高中函數教學內容較多，課堂密度較大，教學進度要求很緊，知識面牽涉較廣，很多題目存在較大的難度，這些問題在教學時都較難把握.面對高中數學函數教學出現的這些新問題和新的變化，我們需要進一步思考高中數學函數教學的對策.

一、新課標對高中函數教學內容的新要求

《高中數學新課標》中關于函數部分的內容，加強了對函數概念定義和函數應用的新要求，要求使學生通過豐富的教學實例，進一步認識函數是由變量變化而發生變化的重要的數學模型；同時要讓學生通過實例去體會不同函數類型的含義.例如，高中數學新課標在《高中數學大綱》的基礎上對函數的定義域、函數值域等以前較為困難的定義進行了淡化，也不再過于強調反函數的概念，只要求學生知道指數函數y=ax（a>0，a≠1）與對數函數y=logax（a>0，a≠1）互為反函數就可以了，目的是使學生更好地理解函數的基本思想方法和實質.

二、高中數學函數教學實例分析

（一）函數的奇偶性

函數的奇偶性是函數的一個重要性質.我們在教學中可以先概括出函數奇偶性的準確定義，隨后再進一步通過例題講解分析出函數的奇偶性和單調性之間的關系.

例 已知函數f（x）是偶函數，且在（-∞，0）上是減函數.基于此，判斷f（x）在（0，+∞）上是減函數還是增函數.

解 由于偶函數的圖像關于y軸對稱，故猜想f（x）在（0，+∞）上是增函數，證明如下：

任意取值x1>x2>0，則-x1<-x2<0.

∵f（x）在（-∞，0）上是減函數，∴f（-x1）>f（-x2）.

又 f（x）是偶函數，∴f（x1）>f（x2）.

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數.

例題點評 這道題主要是要先結合圖像的特征，然后進一步找出奇函數或偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性的關系.

（二）方程根與系數的關系

例 設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當x∈（0，x1）時，證明：x

（Ⅱ）設函數f（x）的圖像關于直線x=x0對稱，證明：x0

解 （Ⅰ）首先要證明x

∵x1，x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，

∴f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

由于00.

又 a>0，則得出g（x）>0，即f（x）-x>0.∴x

根據韋達定理，有x1x2=c[]a，∵0

根據二次函數的性質，函數y=f（x）在閉區間[0，x1]上的最大值在x=0或x=x1；由于f（x1）>f（0），所以當x∈（0，x1）時，f（x）

（Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx+c=ax-b[]2a2+c-b2[]4，（a>0），函數f（x）圖像的對稱軸為直線x=-b[]2a，并只有一條對稱軸，∴x0=-b[]2a.

∵x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據韋達定理，得x1+x2=-b-1[]a.

∵x2-1[]a<0，

∴x0=-b[]2a=1[]2x1+x2-1[]a

解析 由題意可以聯想到：方程f（x）-x=0可變為ax2+（b-1）x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a，b，c之間的關系式，因此利用韋達定理，結合不等式的推導，順利地解決這道題.

三、有效提高函數教學效果的幾點建議

（一）多注意新課程的全套教材

我們在高中數學函數的教學中應要注意研究新課程標準和教材的編寫意圖，還要對其他版本的教材進行橫向比較，了解各學段函數部分的教學內容與要求以及前后教學內容的銜接，進而在教學中充分了解當前的教學活動要從哪里開始，用什么樣的教學方法提高教學效果等.

（二）注重學生數學思維的培養

學生的數學思維是衡量其數學素養的重要標志之一，數學思想的強化有助于學生在數學知識和方法上更高層次的提升.因此我們在進行高中數學函數知識的教學時，應當同時注重對學生數學思維的滲透和培養.例如，我們可以通過分類思想的教學，培養學生思維的嚴密性和全面性；通過數形結合的思想進一步闡述二次函數、一元二次方程與一元二次不等式這三者之間存在的聯系，將文字表述、圖形或模型等數學方法，相互轉換并在每節課中滲透，讓學生體會函數與方程的“形”與“數”、“整體”與“局部”的內在聯系，讓學生站在數學思想的高度處理函數問題，這樣有利于學生感悟數學思想方法，有效地提高教學效果.