關于高中數學拓展問題教學的探討

陳海東

俗話說“問題是數學的心臟”，解決數學問題是高中學生數學學習的主要內容，這也是教師考查學生學習效果的重要途徑.事實上，在高中數學課程中，解題教學是決定教學成敗的關鍵.但由于學生的學習經歷有限，題海戰術并不能保證學生記住全部問題類型的解題方式，但也不能因此就讓學生缺乏練習.因此，最好的方法就是以最少的原題，拓展出最多的問題，讓學生適當地對原習題進行深層次的探索，挖掘出更深刻的結論，起到舉一反三、觸類旁通的效果.

1.通過一般化拓展問題

所謂的一般化，其實就是讓學生從個別認識上升到普遍的認識，從考慮單一的對象到考慮多組對象的轉變.落實到教學中，就是要盡可能地把局部、特殊的數學問題轉換為整體、普遍的數學問題.其實，一般化方法早就被數學教育家波利亞稱為“獲得發現的偉大源泉”.筆者認為，把數學問題進行引申拓展，最終實現“做一題，解一類”的目的，是高中數學教師教學的目標之一.

例1 求證：19941995>19951994.

思考分析 一般來說，學生如果沒有進行更多的思考，就會按照第一直覺，直接從具體數字入手，但是在這過程中，部分學生會發現難以證明.那么作為教師，在教學中要如何指導學習進行解題呢？以一般化的思路導入，是最恰當不過的.首先，引導學生將解題思路拓展，跳出原有就題目解題目的思維，進而退到最基本的情形，然后再逐步歸納，不難得出：nn+1≥（n+1）n（n∈N且n≥3）.

那么，通過數學歸納法，即可以證明此一般性命題的正確性，接著據此求證特殊性命題，結果就迎刃而解了.

此外，教師還可以引導學生進行進一步的一般化探索，如經過分析論證，我們還可以得到更為一般的結論：當a>b>e時，abba.至此，學生所解決的問題，就不再是一道題，而是一類題，在日后的學習中，學生就能夠輕易地解決此類問題.

2.通過類比拓展問題

開普勒曾說過：“我贊成類比勝過其他的一切，它是我最可信賴的，它知道自然的一切奧秘，并且在幾何中它經常是有效的.”事實上，在高中數學教學中，類比方法同樣奏效，通過合理的類比不僅能夠幫助學生找到最佳的解題途徑，更能為學生思維的拓展起到很好的促進作用.

例2 求證：一直線與圓x2+y2=1及其圓系x2+y2=r2都相交，夾在它們之間的兩線段長相等.

證明 [HT]顯然直線的斜率不存在時結論成立.

當直線的斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，由y=kx+b，

x2+y2=r2，

得（1+k2）x2+2kbx+b2-r2=0，（如圖）

∴xA+xB=-2kb[]1+k2.

設AB中點為M（x0，y0），則

x0=-kb[]1+k2，y0=-k2b[]1+k2+b=b[]1+k2.

因為（x0，y0）與r無關，因此（x0，y0）也可以當作是CD中點的坐標，因此|AC|=|BD|（其實，如果從平面幾何的角度去證明，將十分簡單，上述證明主要是為了更好地說明問題）.由于圓和橢圓、雙曲線、拋物線都是二次曲線，所以，筆者從它們的相似性出發，引導學生進行類比猜想，進一步拓展問題.

拓展1 一直線與橢圓x2[]a2+y2[]b2=1及橢圓x2[]a2+y2[]b2=λ（λ>0）都相交，夾在它們之間的兩線段長相等.

拓展2 一直線與雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1及雙曲線x2[]a2-y2[]b2=λ（λ>0）都相交，夾在它們之間的兩線段長相等.

這道題的特殊情況在于：與雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1相交的任一直線夾在雙曲線及其漸近線之間的兩線段長相等.

拓展3 一直線與拋物線y2=2px（p>0）及其拋物線y2=2p（x-a），（x∈R）都相交，夾在它們之間的兩線段長相等.

通過上述類比拓展，學生能夠從一個角度看到更多的問題，能夠從一道題目中認識到命題者的出題意圖，這就為日后的學習奠定了良好的基礎.

3.通過變換命題條件拓展問題

其實，只要認真觀察就會發現，同一知識點的命題，往往是通過變換結論或者條件的方式，達到題目多樣化的結果.而變換命題的條件，就是把特殊化的條件放寬到一般化的條件，而保持結論不變.舉個簡單的例子，把正三角形變為等腰三角形，進而又變為任意三角形，將線段的中點變為線段上的任意點等.此外，還有些題目是通過在原有條件的基礎上附加一些限制性條件.

例3 假如6個人站成一排，共有多少種排法？（A66=720）

此時，可以通過增加限定條件的方式來拓展問題：

拓展1 6人站成一排，甲站在排頭，乙站在排尾，共有多少種排法？（A11A44A11=24）

拓展2 甲、乙、丙三人各站在指定位置上，有多少種排法？（A11A11A11A33=36）

4.結 語

學習，是一個不斷拓展深入的過程.在高中數學學習中，學生也應該不斷地拓展自己發現問題、分析問題、解決問題的能力，而教師作為教學的引導者，更需要通過有效的教學指導，引導學生在某一個問題或者某一類問題上，不斷地探索研究，最終能夠實現以點代面、舉一反三的教學效果，全面提高課堂教學的效率，提升學生探索問題的能力.