求解反函數相關問題的誤區及對策

樊銀生

〔關鍵詞〕 數學教學；反函數；相關問題；誤區；對策

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函數是函數研究中的一個重要內容，是函數教學的一個重點，也是學生學習的難點.在反函數教學中稍有不慎就會走入誤區，有些錯誤觀點甚至在一些輔導資料中以謬傳謬，造成誤導.這里列舉出求解反函數相關問題的幾種常見錯誤，并提出相應的對策.

誤區之一求反函數時忽視了原函數的值域

眾所周知，兩個函數若定義域不同，即使對應法則相同，也不是相同的函數.原函數的值域是反函數的定義域，若忽視了原函數的值域，則解得的結果不一定正確.

例1 求函數y=1-■（-1≤x<0）的反函數.

錯解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， ∴x2=1-（y-1）2.

又∵-1≤x<0，∴所求反函數為y=-■.

剖析：原函數的值域為（0，1），故反函數的定義域為（0，1），而上述解法所得的反函數的定義域為[0，2]，顯然不是原函數的反函數.

誤區之二求反函數時忽視了原函數的定義域

有些函數其本身不存在反函數，但在其單調區間內反函數存在.在求這類函數的反函數時，除注意其值域外，同時也要注意其定義域，根據其定義域對求得的x合理取舍.

例2 求函數y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函數.

錯解： 函數y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域為y∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，∴x-2=

±■.

∴所求的反函數為y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽視了原函數的定義域 ，沒有對x進行合理取舍，從而得出了一個非函數表達式.

誤區之三混淆復合函數的反函數與反函數的復合函數兩個不同的概念

函數y=[φ（x）]的反函數指的是復合函數g（x）=[φ（x）]的反函數g-1（x），而函數y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函數y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函數的復合函數，這兩個函數一般是不同的.

例3已知函數f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函數.

錯解：由f（x）=2x-1可求得其反函數為f-1（x）=■x+■，從而所求的反函數為f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法錯誤的原因是誤認為函數f-1（x+1）是復合函數f（x+1）的反函數.事實上，函數y=f（x+1）的映射法則已不再是“f”了，當然“f-1”不是它的逆映射，正確的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函數為g-1（x）=■x-■.

誤區之四 盲目利用反函數求函數值域

在反函數存在的前提下， 某些函數運用反函數法求函數的值域的確是一種好方法，但通過反函數的定義域求原函數的值域，邏輯上屬于循環解答.習慣上是將反函數的解析式有意義的x的取值范圍作為原函數的值域.運用這種方法求函數值域只有在等價變形的前提下才是正確的.

例4求函數y=■（x>0）的值域.

錯解 ： 由函數y=■ 可求得反函數為y=■，其反函數定義域為x∈（-∞，3）∪（3，+∞），從而原函數的值域為{y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函數的值域為（■，3），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成錯誤的原因是求解x時， 用x≠-2代替了原函數的定義域x>0，這是一種不等價的變形.

誤區之五 認為互為反函數的兩圖象如果有公共點， 則公共點必在直線y=x上

原函數的圖象與反函數的圖象關于直線y=x對稱， 原函數的圖象與直線y=x的交點必是兩函數圖象的公共點，但兩函數圖象的公共點不一定都在直線y=x上.認為“原函數圖象與反函數圖象的公共點必在直線y=x上”這個錯誤的觀點，不僅學生在解題時經常出現，而且在一些參考資料中也時常見到（例題略）.