說說數學語言在教學中的作用

黃致和

數學語言在數學教學中占有重要的地位和作用，“如果一個學生要成為完全合格的多方面武裝的科學家，他在其發展初期就必定來到一座大門并且必須通過這座門。在這座大門上用每一種人類語言刻著同樣的一句話：‘這里使用數學語言。”這段話極其形象地描繪了掌握數學語言的重要性。數學教育家斯托利亞爾也指出：“數學教學就是數學語言的教學。”加強數學語言教學是提高學生數學能力和課堂教學質量的有效方法。

一、數學語言的含義

數學學科與其他學科的一個顯著區別，在于數學學科中充滿著符號、圖形和圖像，它們按照一定的規則表達數學意義，交流數學思想，這些符號、圖形和圖像就是數學語言。數學語言可分為兩種：一種是抽象的符號語言，另一種是直觀的圖形、圖像語言。數學符號和圖形、圖像是數學中的“文字”，通過它們表達概念，判斷、計算、推理、證明等思維活動。

二、數學語言的功能

按照數學符號和圖形在數學中的應用，數學語言的功能歸納為以下幾個方面。

1.表達數的字母或幾何圖形的符號，具有確定的符號意義的功能。如在代數中，用“a、b、c……”表示已知數，“x、y、z……”表示未知數，幾何中用“∠”表示角，用“△”表示三角形，用“∥”表示平行等，這些是數學中的象形符號。

2.數學符號具有形成數與數、數與式、式與式之間關系的功能。符號“＝”表示數或式相等，“＞”、“＜”分別表示大于和小于，“∽”、“≌”分別表示幾何圖形的相似與全等關系。

3.數學符號具有按照某種規定進行運算的功能。符號“+”、“-”、“×”、“÷”分別表示數或式的加、減、乘、除，“an”表示乘方，符號“sin”、“cos”、“tg”分別表示三角函數中正弦、余弦、正切，“s2”表示方差。

4.數學符號具有約定輔助功能。符號“△”表示一元二次方程根的判別式，“（）”，“”、“{}”在數學中起輔助功能的作用。數學符號有機地結合，構成了內涵深刻、豐富簡明的數學語言。

三、數學語言的特點

1.一般性。研究數學的目的之一，就是盡可能地用簡明而基本的語言去解釋世界，數學不僅是事實和方法的總和，而且是用來描述各門科學和實際活動領域的事實和方法的語言。

2.簡潔性。數學語言具有明顯的簡潔性，它盡可能用最少的語言符號去表達最復雜的形式關系，用數學語言表達某個數學規律，比用自然語言要簡潔得多，例如勾股定理，用自然語言需表述為一大段話，而用數學語言則簡單明了，數學語言大大縮短了語言表達的長度，使敘述、計算和推理更清晰、明確。

3.準確性。自然語言具有多義性，含糊不清，而數學需要準確而清楚的語言，每一個符號、式子只能有一個意思，一個數學符號確定表示某個意義后，一般不再表示其他意義。在數學語言中可能出現含混的情形只是極少數。例如幾何中表示三角形的符號“△”，與代數中一元二次方程根的判別式“△”符號一樣，但即使這樣，從上下文的意思，仍可判斷它們的確切意義，不會發生混淆，從而明確區分。

四、數學語言的教學

數學語言是一種形式化的符號語言，數學內容就蘊涵在這種形式化的符號語言中，從某種意義上說，教數學就是教數學語言，學數學也就是掌握數學語言。

1.把直觀和數學語言建立聯系。從具體到抽象，從感性認識發展到理性認識，這是認識的基本規律，學習數學也不例外，感知是學習數學語言的初始環節。數學語言中，名詞、術語是量與空間形式的抽象，用數學符號來表示數學概念，既是數學的特點，又是數學的優點。由于數學概念本身就十分抽象，加上用符號表示，從而使概念更抽象化，因而在教學中，用學生熟悉的形象來加深學生的理解，真正使學生掌握概念符號的意義，顯得尤為重要。

2.注意揭示數學符號的涵義和實質。數學的概念和原理常常用數學符號表示，這就要求在教學中，要防止概念、原理與數學符號脫節，注意充分揭示數學符號的涵義和實質。例如，在絕對值概念的教學中，引入符號|a|以后，可以從以下幾個方面引導學生理解符號|a|的涵義和實質：（1）應使學生從正面理解|a|的意義，它表示的是數軸上表示數a的點與原點的距離，并給出幾個具體數，如a=3，-5，0，求絕對值|a|；（2）從具體數引出|a|的值的范圍為非負數，即|a|≥0；（3）引導學生從反面理解|a|的意義，若|a|=4，則a為多少？結合數軸上的圖形，得出a可為兩個值，以加深對絕對值|a|的理解。符號只是代表概念的物質外殼，如果學生不了解符號的涵義，不理解數學語言表達式的意義，只是一知半解地使用它，那么他們的知識將是形式主義的、無益的，因而在教學過程中，要自始至終給數學語言賦予具體內容，并通過符號、表達式的形式結構，了解其本質內容。

3.重視數學語言中語義和句法的教學。在數學教學中，學生對教學知識的理解往往表面化、形式化，其原因之一是在數學語言的學習中，語義處理和句法處理之間的配合不當。形結與內容脫節，實質上就是數學語言的符號與它們所表示的意義脫節，從教學的角度分析，這可能由于在教學中對數學語言的語義注意不夠，以致使學生將問題翻譯成數學語言時產生困難。許多數學符號的出現，往往伴隨著一定的條件，如一元二次方程中，二次項系數不為零，若方程有解，則判別式△≥0，要結合實例，隨時提醒學生，不能忽視數學語言中的條件，不能濫用數學符號。

4.把自然語言和數學語言適當結合。學生掌握數學語言是有困難的，他們必須通過自然語言去理解數學語言。初中代數和幾何都是數學語言的入門，在教學中，凡引進的數學符號應當用自然語言作解釋性說明，使學生理解符號語言的語義，即它的內容和意義，并明確符號語言的句法，即符號語言的形式、構造、規則，才能使學生懂得這些符號語言所表達的數學內容，否則將導致學生對數學知識的理解表面化，使形式和內容脫節。

5.循序漸進訓練數學語言的敘述。學生掌握數學語言，是一個漸進的過程，指導學生進行有順序的描述過程、概括結論、說明思路，讓學生漸漸從不知如何開口，到會用，進而善用數學語言表達自己的思想，具體可采用以下幾個步驟進行數學語言訓練，以促進學生思維品質的發展。

（1）模仿敘述。教給學生一種說話的模式，讓學生仿照模式進行思考回答，體會數學語言的表達方式。

（2）簡化敘述。讓學生用盡量簡潔的語言敘述自己的思想。

（3）準確敘述。把自己的思想轉化成符號或圖形，準確表現思維的過程。

（4）推廣敘述。由一個問題推廣到一類問題都能用數學語言敘述。

（5）辨別真假。將錯例呈現出來，通過爭論來辨別其錯誤所在。

（6）獨立敘述。能用數學語言準確地表達自己的思想。

6.提供數學交流的機會。數學教學過程必然伴隨交流過程，如教師與學生的交流、學生與學生的交流，交流對數學學習是非常重要的，交流可以幫助學生在非正式的、直覺的觀念與抽象的數學語言之間建立起聯系，幫助學生把實物的、圖形的、口頭的，以及心智描繪的數學概念聯系起來，發展和深化學生對數學的理解。

通過交流，學生能把自己的思想以自然語言或數學語言表達出來，并接受來自他人的思想，把數學思想由一種表達方式轉換成另一種表達方式，比如把一個概念用圖形或符號表示出來，用圖來表示實物模型，轉化成符號或語言等，進一步加深對數學語言的理解和掌握。