數形結合能力與意識的培養策略探索

夏天雪蘭

摘 要 數形結合是數學解題中常用的思想方法，對于高職校的學生來說，她們的基礎知識比較薄弱，思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐和創新意識能力更差，通過數形結合可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，使數與形的信息相互滲透，從而很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

關鍵詞 數形結合 圖象 函數 應用

中圖分類號：420 文獻標識碼：A

Exploration on the Developing Strategy of the Combination of

Figures and Graphs Capacity and Awareness

XIA Xuelan

(Wuxi Higher Health Vocational and Technical College, Wuxi, Jiangsu 214028)

Abstract The combination of figures and graphs is a very common way to solve mathematics problems. For the students of higher technology school, they are poor in the elements and ideation, operational capability, space imagination and much poorer in practice and innovation. The combination of figures and graphs makes the abstract problems into visual and vivid, meanwhile turns abstract thinking into imaginal thinking. The combination of figures and graphs makes the difficult problems solved in a neat and easy way.

Key words the combination of figures and graphs; graph; function; application

所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合是數學教學中重要的基本思想方法之一，是數學的本質特征。華羅庚先生曾指出：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀， 形少數時難入微。”在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，可以開拓我們的解題思路，使許多數學問題簡單化。所以在平時的教學中要有意識地對學生進行數形結合的訓練，本文結合我校所用教材的實際情況，對數形結合思想的培養做了一些嘗試，將此體會介紹如下。

1 要重視數學概念、法則、公式、定理的幾何意義的教學

數學中的很多概念、法則、公式、定理都有一定的幾何意義，要培養學生數形結合的思想，就要善于挖掘數學概念、法則、公式、定理的幾何意義。在教學中引導學生深刻分析這些概念、法則、公式、定理與幾何圖形內在的本質的聯系，從而可以提高聽課效果，同時還可調動學生的學習興趣和學習熱情。例如：對于剛進入高職校的學生，我們在講絕對值不等式的概念時，應該先給學生復習絕對值的幾何意義，從而引出絕對值不等式的幾何意義“||＜在數軸上表示數所對應的點到原點的距離大于， ||＞在數軸上表示數所對應的點到原點的距離小于”。 “數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的決定性作用，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。例如我們在講集合運算時，如果借助于數軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，那么問題就會變得簡化，運算就會快捷明了。

分析：先在數軸上表示出集合A、B的范圍，再在圖象上找出重合的部分就是A和B的交集。

2 要重視數學圖象在基本初等函數性質上的應用

函數是貫穿數學知識的主要內容，它的地位和作用非常重要，數形結合思想在解決函數問題時尤為重要。在數學教學中要注意培養學生看見函數能想到它的圖象，函數的圖象是表示函數關系的方式之一，它是從“形”的方面來刻畫函數的變化規律，形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。例如我們講解冪函數、指數函數、對數函數的性質時，如果利用圖象幫助學生去理解這些函數的性質，通過比較，學生比較容易掌握知識點，從而也能較快地去記憶所學的知識點。

例如：比較下列各組數的大小：

（1）30.2和50.2 （2）0.33和0.35 （3）和

分析：如果借助于計算器很快就能知道答案，但在沒有計算器的情況下，該如何解決呢？首先我們先找出每一組數的特點：可以把它們分別看成是冪函數、指數函數、對數函數隨著自變量的取值來比較函數值的大小。根據分析畫出相對應的簡圖就可以根據圖象比較出大小。

這只是利用圖象判斷出函數的單調性，我們在解題時還可以利用圖象判斷函數的奇偶性、周期性、有界性等等。

3 要重視數學圖象在高等數學中的應用

高職校中的高等數學課程課時偏少，教學內容不是很多，但學生普遍都感覺內容枯燥、單調。所以有的教師往往采用的方法是難的內容盡量避開不講，較難的內容盡量將問題簡單化，這樣做就會使學生難以掌握到數學的精髓，難以欣賞到數學中的美。如果我們在教學中巧妙地利用數形結合，就會讓學生輕松有趣地去學習高等數學，從而引導學生進行更深層次地去思考。例如我們在求函數極限時，就可以充分利用圖象，借助于圖象可以比較直觀明了地看出函數值的趨向，從而求出函數的極限。來看看函數極限的例子。

例1：求函數 = 當時的極限？當時，函數的極限還存在嗎？

分析：函數 = 是一個反比例函數，它的圖象是以個雙曲線，通過圖象可以看出隨著自變量的變化趨勢，函數值的變化趨勢。（如圖所示）由圖象可以看出當時，；當時，所以當，函數 。但當時，||，所以函數此時沒極限。

通過圖象分析，我們可以使一些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，從而使很多數學問題化難為易、化險為夷，同時也能讓學生從中感受到其中的樂趣。

數形結合思想是滲透在整個教學內容之中的，學生對數形結合思想的掌握，要經歷從模糊到清晰的階段，教學中要根據各班學生的實際水平和個別差異，使他們萌發意識——形成意向——掌握深化，在數學思想方法的發展上更深入一步。這就要求我們在教學中做到：（1）適時滲透數形結合思想，盡量擺脫對代數問題的抽象討論。更多地把代數里的東西用圖形表示出來。（2）典型例題的分析講解時突出數形結合思想。（3）精選一些練習題，讓學生借助幾何圖形的性質解決數學問題，讓學生在訓練中逐漸領悟數形結合思想的實質。

總之，教師應在數學教學中盡量發掘“數”與“形”的本質聯系，借助數形結合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，變學生學會為會學，提高學生的數學素養，在數學教學中真正實現素質教育。

參考文獻

[1] 五年制高職數學教材（第二冊）.蘇州大學出版社.

[2] 程良炎.高等數學中數形結合教學模式的探討.黃石理工學院學報.