基于R—GARCH模型與HAR模型預測能力比較研究

【摘要】本文采用滬深300日間隔為5分鐘的高頻數據，構建了日間收益序列和日已實現極差波動（RRV）序列，然后分別建立R-GARCH模型與HAR模型，并采用M-Z回歸及損失函數作為判別準則對兩類模型的波動預測能力進行了測度。結果表明，無論從M-Z回歸結果還是損失函數值來看，R-GARCH模型都要優于HAR模型。

【關鍵詞】已實現GARCH模型 異質自回歸模型 RRVM-Z回歸 損失函數

一、引言

GARCH模型由Bollerslev（1986）提出，它作為低頻數據波動刻畫的經典模型至今已得到了廣泛的應用。隨著金融高頻數據的出現， Andersen和Bollerslev（1998）提出了已實現波動方法，因其無模型，計算簡單而被廣泛接受。Corsi（2004）提出了基于已實現波動的異質自回歸（HAR）模型，從而提出了基于高頻數據的波動預測模型。Martens和Dijk（2007）提出的已實現極差波動（RRV）及其修正量是比已實現波動（RV）更為精確的波動估計量。Hansen等（2011）提出了將已實現波動方法作為條件波動解釋變量的已實現GARCH（R-GARCH）模型。本文擬通過對滬深300建立RRV-GARCH模型與HAR-RRV模型并給出滾動樣本外一步預測值，然后采用M-Z回歸以及損失函數作為判別準則對其預測能力進行比較。

二、相關理論介紹

（一）RRV及其修正量

………………………………（1）

………………………………（2）

其中，表示第日區間該抽樣區間的最大對數價格，表示第日區間該抽樣區間的最小對數價格，表示日抽樣次數。表示第t-i期的日內極差。根據Martens和Dijk（2007）的建議，選取。

（二）R-GARCH模型

………………………（3）

…（4）

……………………………………（5）

其中，，，且與相互獨立。為日對數收益，為期對數收益的函數。為日高頻數據的已實現波動方法（如RV、RRV等），為測度杠桿效應的杠桿函數，通常取簡單的正交形式：

………………………………………（6）

對于R-GARCH模型的參數估計，通常采用準極大似然估計（QMLE）的方法。

（三） HAR模型

………………（7）

其中，為日高頻數據的已實現波動方法（如RV、RRV等），為隨機誤差項。

（四）M-Z回歸

M-Z回歸是Mincer和Zarnowitz（1969）提出的用來衡量波動模型的預測能力的方法，是目前比較流行的方法之一，它對真實波動率與預測波動率建立一個一元的線性回歸模型：

………………………………………………（8）

其中，為真實波動率，為預測波動率，為隨機誤差項。通常真實波動率是無法度量的，常常選用高頻數據的已實現波動方法或者其調整量來替代。實踐中常常用回歸方程的擬合優度（R2）來測度波動模型的預測效果。

（五）損失函數

損失函數則是一種波動模型預測能力的評價指標體系，通常損失函數的值越小，表明波動預測的誤差就越小，那么模型的預測精度就越高。目前使用較多的損失函數主要有MAE、RMSE、MAPE、HRSME和HMAE等。

………………………………………（9）

…………………………………（10）

…………………………………（11）

………………………………（12）

……………………………… ………（13）

其中，為真實波動率，為預測波動率。

三、實證分析

（一）數據介紹

本文將采用滬深300指數08/04/2005到31/01/2011的抽樣間隔為5分鐘的共1415天數據，其中樣本內數據1114個，樣本預測外數據300個。

相關研究表明，日間收益并不存在高階自相關，因而均值方程可選擇如下的函數形式： ，其中，為對數收益在前期信息下的第期條件期望收益。日間收益殘差存在異方差性，因而可以對其建立已實現GARCH模型。日間收益殘差存在一定的厚尾特性，因而可假定服從廣義誤差分布（GED），而通常假定服從正態分布。且已實現極差波動具有嚴重的自相關性，因而可以對其建立HAR模型。

（二）RRV-GARCH模型與HAR-RRV模型的波動預測能力比較

為了簡便起見，分別對和時的RRV建立R-GARCH（1，1）模型與HAR模型，并用已實現極差波動的修正量來作為日間真實波動的替代量，因而可得表1中結果。

表1RRV-GARCH模型與HAR-RRV模型的預測能力測度

R2 a b MAE RMSE MAPE HRMSE HMAE

R-G（1） 0.271 4.08E-05 1.369 2.24E-04 3.82E-04 0.999588 1.03743 0.62033

R-G（4ln2） 0.271 4.29E-05 1.369 2.24E-04 3.82E-04 0.999589 1.04539 0.62535

HAR（1） 0.238 7.19E-05 1.633 2.66E-04 4.30E-04 0.999636 1.51068 0.95417

HAR（4ln2） 0.237 7.13E-05 4.532 4.22E-04 5.65E-04 0.999781 5.42852 4.24557

從表1可以看出，R-GARCH模型的擬合優度要高于HAR模型，且R-GARCH模型的回歸系數比HAR模型的回歸系數更接近于1，因而從M-Z回歸判別準則來講，R-GARCH模型在對滬深300波動的刻畫要優于HAR模型。其次，R-GARCH模型的5個常用損失函數值皆相應小于HAR模型的損失函數值，因而從損失函數的角度亦可以得到R-GARCH模型在對滬深300波動的刻畫要優于HAR模型。

四、小結

從上面的實證分析結果來看，盡管作為混頻數據波動模型代表的R-GARCH模型要優于作為高頻數據波動模型代表的HAR模型，但是對已實現波動方法建立ARFIMA模型也是目前高頻數據波動模型的常規做法，而該模型與R-GARCH模型的波動預測能力如何，尚屬未知，因而有待進一步比較研究。

參考文獻

[1] Fulvio Corsi.A simple long memory model of realized volatility [R].Working Papers， 2004.

[2] Martens M， Dijk D. Measuring volatility with the realized range [J]. Journal of Econometrics， 2007， （138）：181-207.

[3] Peter Reinhard Hansen， Zhuo Huang， Howard Howan Shek. Realized GARCH： A Joint Model for Returns and Realized Measures of Volatility [J]. Journal of Applied Econometrics， 2011.

作者簡介：袁周波（1987-），男，重慶人，西安財經學院2010級碩士研究生，研究方向：金融統計。

（責任編輯：陳岑）