矩陣分解的常用方法

張夢陽

摘 要：矩陣分解對矩陣理論的發展起了關鍵作用。所謂矩陣分解就是將一個矩陣寫成結構比較簡單的或性質比較熟悉的另一些矩陣的乘積。其分解的分解的方法有很多種，但常用的三角分解、QR分解、奇異值分解。

關鍵詞：三角分解；QR分解；奇異值分解

一、矩陣的三角分解

定義：如果方陣A可分解成一個下三角形矩陣L和上三角形矩陣U的的乘積，則稱A可作三角分解或LU分解。

定理1：高斯消元過程能夠進行到底的充分必要條件是A的前n-1個順序主子式都不為零，即△k ≠0，k=1，2，…，n-1。（1）

當條件（1）滿足時，有L（n-1）…L（2）L（1）A=U。其中U為上三角形矩陣

L（k）=

lik=，i=k+1，…，n。容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩陣L（k）可逆，于是有A=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。由于（L（K））-1是下三角形矩陣，故它們的連乘積仍然是下三角矩陣。令

L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=

則得A=LU。即A分解成一個單位下三角形矩陣L和一個上三角形矩陣U的的乘積。

二、矩陣的QR（正交三角）分解

定義：如果實（復）非奇異矩陣A能化成正交（酉）矩陣Q與實（復）非奇異上三角矩陣R的乘積，即A=QR，則稱上式為A的QR分解。

定理2：任何實的非奇異n階矩陣A可以分解成正交矩陣Q和上三角形矩陣R的乘積，且除去相差一個對角線元素之絕對值等于1的對角矩陣D外，分解成A=QR是唯一的。

矩陣QR的分解具體做法如下：

令A的各列向量依次為α1，α2，…，αn，由于A是非奇異的，所以α1，α2，…，αn線性無關，按照施密特正交法正交化得到個標準的正交向量β1，β2，…，βn，且

β=bαβ=bα+b22α2┇β=bα+b2nα2+…+bnnαn

這里bij都是常數，且由正交化過程知bii≠0（i=1，2，…，n）寫成矩陣形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=AB。其中

B=

是上三角矩陣（bii≠0，i=1，2，…，n）。顯然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩陣，由于Q的各列標準正交，所以Q正交矩陣，從而有A=QR。

三、矩陣的奇異值分解

定理3 （奇異之分解定理） 設A是一個m×n的矩陣，且r（A）=r，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得UHAV=（2），其中？撞=diag（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。由（2）知A=UVH （3），該式稱為A的奇異之分解，r（I=1，2，…，r）稱為A的奇異值，U的第i列稱為A對應i的左奇異向量，V的第i列稱為A對應i的右奇異向量。

求解奇異值分解的步驟如下：

步驟1：確定？撞，計算AHA，求其特征值λi，可得A的正奇異值i=，i=1，2，…，r，則？撞=diag（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。

步驟2：確定V，求非零特征值對應的特征向量Pi，將其用Schmidt正交化化為標準正交向量vi（i=1，2，…，r），即得V1=（v1，v2，…，vr）。再取V2與V1的列向量拼成Cn的標準正交基，即得到Vn×n=（v1，…，vr，vr+1，…vn）。

步驟3：確定U，求U1∈Cm×r，取V1=（v1，…，vr），∑=diag（1，…，r），計算U1=AV1？撞-1。在Cm中取U2∈Cm×（m-r），使得U1與U2的列向量成Cn的標準正交基，從而U=[U1，U2]為酉矩陣，則A=UVH。

參考文獻：

[1]方保镕，周繼東，李醫民.矩陣論[M].北京：清華大學出版社，2004.

[2]戴華.矩陣論[M].北京：科學出版社，2001.

[3]張帆，王金林，魯力.奇異值分解中的兩個酉矩陣的配置[J].高等數學研究，2009（1）.

（通渭縣常河職業中學）