一道高考模擬題解法引發的思考

魏潤泉

在這學期高三第一輪高考復習中，我發現相當一部分學生對全稱命題和特稱命題的審題判斷，在具體的題目中運用時感到疑惑。下面，我就這個問題作一些簡略的探討。

審題就是弄明白問題，但怎樣才算把問題弄明白了呢？主要是弄清題目已經告訴了我們什么，又需要我們去做什么，從題目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點，推理目標以及溝通起點與目標之間聯系的更多信息。

審題，是解題的第一步，沒有審題就沒有解題的后續，沒有審題的明晰就難有“擬訂計劃”的成功。在內容上，審題就是弄清問題，弄清條件是什么，結論是什么；在功能上，審題首先是為思路探求奠定物質基礎，最終目的是獲得題目的解。

定義（1）全稱量詞及全稱命題：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“？坌 ”表示，含有全稱量詞的命題叫做全稱命題。通常將含有變量x的語句用p（x），q（x），r（x）……表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱命題對M中任意一個x，有p（x）成立，可用符號簡記為“？坌x∈M，p（x） ”，讀作“對任意x屬于M，有p（x）成立”。

定義（2）存在量詞及特稱命題：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“？堝 ”表示，含有存在量詞的命題叫做特稱命題。 特稱命題“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”，可用符號簡記為“？堝x0∈M，p（x0） ”， 讀作“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”。

問題：（2013高考測試題）已知集合P=，2，函數的定義域為y=log2（ax2-2x+2） 的定義域為Q。

（1）若P∩Q≠？準，求實數a的取值范圍。（2）若方程log2（ax2-2x+2） =2在，2內有解，求實數a的取值范圍。

解析：（1）若P∩Q≠？準，則在 x∈，2內，至少有一個值使x得ax2-2x+2>0成立，即在 x∈，2內內，至少有一個值x使得a>+成立，設u=-+=-2（-）2+，當x∈，2時，u∈-，，得a>-4，所以實數的取值范圍是a|a>-4 。

（2）方程log2（ax2-2x+2） =2在，2內有解，則ax2-2x+2=0在，2內有解，即在x∈，2內有值x使得a=+成立，設u=+=2（+）2-，當 x∈，2時，u∈，12，得a∈，12，所以實數的取值范圍是，12。

分析：理解全稱量詞與存在量詞的意義，弄清是全稱命題還是特稱命題是解決問題的關鍵，判斷一個命題是全稱命題還是特稱命題，要從命題的真正含義入手，而不僅僅是看是否有全稱量詞或存在量詞，此題最大的錯誤點就是學生把題意沒有審清，而是直接用解決不等式的最值問題入手，把求最小值的問題變成了求最大值問題，導致最終結果錯誤。

練習題：（2012年寧夏高考模擬題）設函數f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）。

（1）若定義域內存在x0，使得不等式f（x0）-m≤0成立，求實數的最小值。（2）設g（x）=f（x）-x2-x-a在區間上0，3恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍。

解析：（1）存在x0使m≥f（x0）min，因為f'（x）=2（1+x）-=（x>-1），令f'（x）>0？圯x>0，f′（x）<0？圯x<0，所以y=f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）單調遞增，則f（0）min=1，即m≥1，所以m的最小值是1。

（2）由g（x）=x+1-a-2ln（1+x）在0，3上有兩個零點，即x+1-2ln（1+x）=a有兩個零點，令h（x）=x+1-2ln（1+x），h′（x）=1-=，則h′（x）>0？圯x>1，h′（x）<0？圯x<1，所以y=f（x）在0，1上單調遞減，在1，3上單調遞增，則h（0）=1-2ln=1，h（1）=2-2ln2，h（3）=4-2ln4，所以2-ln2

分析：首先判斷一個命題是全稱命題還是特稱命題，要從命題的真正含義入手，而不僅僅是看是否有全稱量詞或存在量詞；對同一個數學關系式，如果冠以不同的量詞，命題的屬性也不一樣，如“？坌x∈R，x2+x+1=0 ”是全稱命題，而“？堝x∈，使x2+x+1=0 ”是特稱命題；常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”“任給”“所有的”等；常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”等。

以上所舉問題體現了學生在審題過程中，在弄清楚條件數學含義及結論數學含義的基礎上，再弄清楚條件知識與結論知識間存在著哪些數學聯系，而這些聯系就表現為題目的結構。為了更接近問題的深層結構，審題不僅開始于解題工作的第一步，還貫穿于探求的過程與結果的反思，應該是循環往復、不斷探化的過程，對在有限時間內進行復習迎接高考的高三學生，這樣的學習更有意義。

（通渭縣第二中學）