獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)點(diǎn)滴談

蔣春梅，于大光

摘要：線性代數(shù)課程內(nèi)容具有一定的抽象性，是高校公共數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握具有應(yīng)用性的知識(shí)，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責(zé)任和進(jìn)行教學(xué)改革的主要方向。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；獨(dú)立學(xué)院；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）12-0149-02

線性代數(shù)課程內(nèi)容具有一定的抽象性，是高校公共數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。信息技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，學(xué)科間不斷地相互交叉、滲透，作為基礎(chǔ)科學(xué)的數(shù)學(xué)更顯示出它的廣泛應(yīng)用性。指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握具有應(yīng)用性的知識(shí)，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責(zé)任和進(jìn)行教學(xué)改革的主要方向。目前獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)面臨的情況，較為突出的有兩個(gè)方面。首先，教學(xué)對(duì)象即學(xué)生在快節(jié)奏的環(huán)境中成長，與以往精英教育時(shí)代學(xué)生最大的不同在于，他們思想活躍興趣廣泛，渴望學(xué)習(xí)新事物新知識(shí)，希望從老師那里學(xué)到更新、更具有實(shí)用價(jià)值的知識(shí)，這是他們的優(yōu)勢和特點(diǎn)，然而他們的生活?yuàn)蕵贩绞蕉鄻踊?jié)奏又快，微博、手機(jī)、QQ、看小說等情形課間隨處可見，無形中對(duì)新時(shí)期教師授課提出更高的要求；其次，多年來線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容基本沒有太大變化，從行列式、矩陣、線性方程組求解、向量空間到二次型，但獨(dú)立學(xué)院教學(xué)學(xué)時(shí)要減少到32課時(shí)且都是大班授課，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、獨(dú)立且思考能力較差，趕進(jìn)度似的匆忙輸入這些內(nèi)容，不可避免地使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)產(chǎn)生排斥和抵觸情緒。為此教師必須精心組織教學(xué)內(nèi)容，在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上尋找新的教學(xué)方式，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目的。本文結(jié)合所在獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、把握中心 緊扣主線 合理布局 突出應(yīng)用

仔細(xì)看整個(gè)線性代數(shù)可以理解為圍繞著線性方程組的求解展開，從開始行列式的介紹，為解決一類特殊的線性方程組鋪墊，其中方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)一樣，之后的萊姆法則利用行列式工具把這一問題理論上解決了。但實(shí)際計(jì)算起來未知量個(gè)數(shù)越多計(jì)算量越大，并且對(duì)于未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不等的線性方程組，此法則顯然不適用，主要原因是方程組的系數(shù)已經(jīng)不能構(gòu)成行列式。有人就會(huì)問：“方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不一樣時(shí)線性方程組如何求解”？由此開啟矩陣板塊的學(xué)習(xí)。矩陣是線性代數(shù)這門課程最重要的工具，一般方程組的具體求解和判定理論都化為矩陣的相關(guān)問題，對(duì)矩陣的方法掌握得好壞直接影響到整門課程的學(xué)習(xí)，可以從經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出模型和通路矩陣等實(shí)際例子引入矩陣為一數(shù)表的概念，相關(guān)性質(zhì)這部分內(nèi)容必須精講。之后用消元法求解線性方程組，這一最基本的思想學(xué)生在高中有過接觸，選擇兩道二階和三階階線性方程組為引例，先把消元法的思想交代清楚，強(qiáng)調(diào)保證同解只會(huì)實(shí)施三種行初等變換，關(guān)鍵還要將每一步求解用矩陣與之對(duì)應(yīng)表示，使學(xué)生清晰地看到線性方程組的求解過程完全等同于將其增廣矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的過程，這是獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)。這前三章的教學(xué)內(nèi)容必須保證學(xué)生絕大部分都能充分理解并熟練掌握。

第四章《向量的線性相關(guān)性》概念非常抽象。學(xué)生對(duì)“向量間的線性相關(guān)與線性無關(guān)”的定義接受起來總是很困難，多年來一直是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難點(diǎn)。如何克服這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)？首先在宏觀上要做好與上一章節(jié)的銜接，研究對(duì)象依然是線性方程組，對(duì)齊次線性方程組我們換個(gè)角度看它，橫看成嶺側(cè)成峰，寫成向量形式便得到系數(shù)矩陣列向量之間的關(guān)系式。此時(shí)開始引導(dǎo)學(xué)生明白這一關(guān)系式的作用，在空間解析幾何上有其對(duì)應(yīng)的幾何意義，系數(shù)矩陣的列向量能否通過尺度伸縮變換和平行四邊形法則回到原點(diǎn)，因此原來齊次線性方程組有非零解時(shí)，系數(shù)矩陣的列向量能夠齊心協(xié)力回到原點(diǎn)。從而將向量的線性相關(guān)性概念與大家熟悉的線性方程組聯(lián)系起來，新問題的研究全部化為線性方程組解的判定以及它的主要工具——矩陣問題。在這一章要給學(xué)生建立線性方程組—矩陣形式—向量形式“三位一體”的模型，形式不同實(shí)質(zhì)一樣，這一模型的建立和相互間的轉(zhuǎn)化在本章和后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。那么研究向量的線性相關(guān)性對(duì)線性方程組又有什么貢獻(xiàn)呢？慢慢給學(xué)生撥開迷霧，有了向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，就會(huì)很自然地有了向量組的極大無關(guān)組概念。啟發(fā)學(xué)生思考：有一特殊的向量，齊次線性方程組有非零解時(shí)的解空間，它的極大無關(guān)組是什么樣子呢？繼而得到線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論，對(duì)比上一章按部就班的具體求解，深化了我們對(duì)線性方程組解空間的認(rèn)識(shí)，對(duì)空間的面貌有了清晰準(zhǔn)確的把握。第五章也可以從線性方程組開啟，將同學(xué)們非常熟悉的AX=b形式稍作修改為AX=y，這便是Rn→Rn空間的映射，不同于高等數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，舉個(gè)簡單的二位圖案經(jīng)此類線性映射后形狀發(fā)生了較大的變化，學(xué)生有了一個(gè)形象直觀的感覺。結(jié)合例子提出問題，強(qiáng)調(diào)該變換中有一現(xiàn)象非常值得關(guān)注，即AX與y平行，從而引入矩陣“特征值和特征向量”的概念，步步逼近為什么叫矩陣的“特征值和特征向量”，反饋出矩陣什么樣的特征呢？從而導(dǎo)出矩陣的可對(duì)角化問題，其中實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問題在工程技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用，第六章的二次型可以理解為這一舊問題的重新包裝。整門課程安排上緊緊圍繞中心問題，合理布局，把不同的知識(shí)串在一起，以前看起來零散的內(nèi)容，忽然不再繁雜了，成為一個(gè)有機(jī)的整體。這種分析能力同樣適用于我們平時(shí)的日常生活。

二、鼓勵(lì)思考 勤于實(shí)踐 加強(qiáng)概念 歸納總結(jié)

課堂上教師以講清主干概念為原則，枝節(jié)問題留給學(xué)生去思考、歸納，同時(shí)加入相應(yīng)背景知識(shí)以增加課堂信息量。上課前要交待清楚講授的主要問題是什么，然后引導(dǎo)學(xué)生共同逐一地解決這些問題，把學(xué)生擺在解決問題的主人翁的位置，而不是要求學(xué)生被動(dòng)地聽課。注意講課的藝術(shù)性，善于提出問題并向?qū)W生尋求答案，鼓勵(lì)大家思考甚至討論也是素質(zhì)教育的體現(xiàn)。比如正交矩陣概念的引入，可以讓學(xué)生自己動(dòng)筆算算空間中n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組作列構(gòu)成的矩陣，其轉(zhuǎn)置與自身的乘積有什么樣的效果，從而水到渠成地得到一類新的特殊矩陣，正好把以前學(xué)過的矩陣家族里的特殊成員一并復(fù)習(xí)一下。對(duì)提出的問題一步步深入，一個(gè)個(gè)解決。做到語言簡練而不重復(fù)，重點(diǎn)地方應(yīng)加強(qiáng)語氣放慢速度引起重視，讓學(xué)生一字一句聽得清清楚楚，同時(shí)給學(xué)生一種緊迫感，讓學(xué)生感覺到思維一停頓就會(huì)脫節(jié)接不上，保證上課全神貫注注意聽講。當(dāng)學(xué)生身臨其境地經(jīng)歷提出問題、討論問題、解決問題的過程后，最終目的還是要引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)并找到結(jié)論，找到一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念。獨(dú)立學(xué)院學(xué)生普遍不喜歡推敲抽象的理論和內(nèi)容上串講章節(jié)的基本概念和重點(diǎn)，他們比較樂于接受直接講題做題，因此因材施教選取一些具有代表性的例子，哪怕是以前講過的典型例子都可以拿過來，總結(jié)出其中的規(guī)律，理清思路，點(diǎn)明解決的方法，從而做到舉一反三，以點(diǎn)帶面，通過例子使學(xué)生充分理解、掌握基本內(nèi)容和方法。

三、更新知識(shí) 自我提升 教書育人 教學(xué)相長

教師僅僅從教材本身來講解本課程是不夠全面的，倘若能借助各方面的知識(shí)，運(yùn)用多種教學(xué)手段如matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用舉例，全方位地進(jìn)行立體多維教學(xué)，對(duì)學(xué)生而言更有吸引力。這對(duì)教師便提出了更高的要求，在課余時(shí)間多看相關(guān)參考書和資料，擴(kuò)大自己的知識(shí)面，這樣做無論對(duì)于教學(xué)工作、教師的自我成長和提升都有百利而無一害，參加全國教師網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)和高校教師的暑期學(xué)校也是不錯(cuò)的選擇。另外，相比一般普通本科學(xué)校學(xué)生，獨(dú)立學(xué)院學(xué)生有兩類特征鮮明：一部分學(xué)生高中基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)不錯(cuò)，進(jìn)校后卻產(chǎn)生迷茫找不到方向，應(yīng)鼓勵(lì)他們充分發(fā)揮自身潛力，盡快進(jìn)行四年大學(xué)學(xué)習(xí)生活職業(yè)規(guī)劃，他們是優(yōu)秀班風(fēng)良好學(xué)風(fēng)構(gòu)建的核心力量，極有可能將來成為本屆學(xué)生的佼佼者和學(xué)院樹立的標(biāo)桿榜樣；另一部分學(xué)生是在比較優(yōu)越的家庭環(huán)境中長大，習(xí)慣于對(duì)家長和老師的依賴，有一定的學(xué)習(xí)積極性但不穩(wěn)定，遇到困難缺乏積極主動(dòng)意識(shí)，倘若教師實(shí)時(shí)給予鼓勵(lì)啟發(fā)他們多思考，學(xué)會(huì)去圖書館查閱資料或與同學(xué)交流尋求幫助，這部分學(xué)生可以與前部分相得益彰，成為構(gòu)建和諧向上的學(xué)習(xí)氛圍的中流砥柱。作為教師在教書的同時(shí)不忘育人，掌握他們的心理特點(diǎn)和需求，有了學(xué)生熱情互動(dòng)和參與，教學(xué)才會(huì)變得流暢實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙慧斌.問題驅(qū)動(dòng)是線性代數(shù)有效的教學(xué)法之一[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，（4）.

[2]周玲.《線性代數(shù)》課程教學(xué)點(diǎn)滴談[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，（8）.