一道中考數(shù)學(xué)試題的演變過程帶給我們的點(diǎn)滴思考

金穎 段丹華

在研究大量的中考數(shù)學(xué)試題的過程中，讓我真正的感受到深入研究一道題對(duì)老師、對(duì)學(xué)生的價(jià)值. 下面僅就２０08年泰州市中考數(shù)學(xué)試題第２５題的研究過程，看一道題的發(fā)生和發(fā)展，也許會(huì)給大家一點(diǎn)啟示和借鑒.

１． 試題呈現(xiàn)

２００８年５月１２日１４時(shí)２８分四川汶川發(fā)生里氏８．０級(jí)強(qiáng)烈地震．某市接到上級(jí)通知，立即派出甲、乙兩個(gè)抗震救災(zāi)小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點(diǎn)４８０千米的災(zāi)區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災(zāi)物資，比甲組晚出發(fā)１．２５小時(shí)（從甲組出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)）．圖1中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程ｙ甲（千米）、ｙ乙（千米）與時(shí)間ｘ（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖像．請(qǐng)根據(jù)圖像所提供的信息，解決下列問題：

（１）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了小時(shí)；

（２）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災(zāi)區(qū)．請(qǐng)問：甲組的汽車在排除故障時(shí)，距出發(fā)點(diǎn)的路程是多少千米？

（３）為了保證及時(shí)聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時(shí)約定此后兩車之間的路程不超過２５千米，請(qǐng)通過計(jì)算說明，按圖像所表示的走法是否符合約定．

試題分析

此題是２００８年泰州的中考試題，主要是利用圖像提供的信息解決行程問題. 行程問題反映的是路程、時(shí)間和速度的關(guān)系問題. 它具有一定的典型性、示范性和遷移性，有較高的應(yīng)用價(jià)值. 類比上述問題我們可以將其改編成研究工作量、工作時(shí)間和工作效率的問題. 所以將上述問題改編成如下試題.

２． 試題變式１

甲、乙兩個(gè)小組進(jìn)行工作，他們的總工作量是４８０件，甲組人員到齊就開工，乙組人員到齊比甲組晚１．２５小時(shí)開始工作，圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的工作量ｙ甲、ｙ乙與時(shí)間ｘ（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)圖像所提供的信息，解決下列問題：

（１）解釋ＡＢ線段的實(shí)際意義 ．

（２）求甲組和乙組完成相同工作量時(shí)的時(shí)間．

（３）甲、乙兩組在第一次完成相同工作量時(shí)約定，以后兩組工作量之差不超過２５件，這樣才能保證同時(shí)送貨，請(qǐng)通過計(jì)算說明，按圖像所表示的完成工作是否符合規(guī)定．

變式１分析

變式１是在２００８年泰州的中考試題的基礎(chǔ)上，沒有改變圖像，只是將內(nèi)容的呈現(xiàn)形式做了相應(yīng)的調(diào)整，但其主體的數(shù)量關(guān)系并沒有改變，讓學(xué)生能進(jìn)一步體會(huì)、理解此圖像提供的信息，學(xué)會(huì)從繁雜的題目中抓住其要考查的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其真正的內(nèi)化理解并達(dá)到舉一反三的目的. 進(jìn)一步把圖像進(jìn)行適當(dāng)改變?cè)儋x予新的問題情境提出相應(yīng)的問題，又設(shè)計(jì)了以下內(nèi)容．

３． 試題變式２

甲、乙兩組同時(shí)加工一批零件，乙組工作中有一次停產(chǎn)檢修，兩組各自剩余工作量ｙ（件）與時(shí)間ｘ（時(shí)）的函數(shù)圖像如圖3所示，從開始工作時(shí)計(jì)時(shí).

（1）直接寫出甲、乙兩組各自的工作量.

（2）求甲組剩余工作量ｙ與ｘ的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求甲、乙兩組剩余工作量相同時(shí)的ｘ值.

（4）工作３小時(shí)后，當(dāng)甲組剩余工作量比乙組剩余工作量多２０件時(shí)，甲組想通過提高工作效率，保證與乙組同時(shí)完成工作，甲組每小時(shí)要比原來多生產(chǎn)多少件？

變式２分析

變式２是將變式１的圖像進(jìn)行了１８０°的旋轉(zhuǎn)后適當(dāng)調(diào)整，賦予新的意義后提出相應(yīng)的問題，這樣設(shè)計(jì)本題的難度大大提高，學(xué)生在解決問題時(shí)思維層面上要出現(xiàn)跳躍，雖然題目很好但卻難以達(dá)到考查學(xué)生的目的．因此把題目３的圖像又進(jìn)行了調(diào)整，旋轉(zhuǎn)１８０°后得到變式３．

４． 試題變式３

甲、乙兩組工人同時(shí)加工某種零件，乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來的２倍．兩組各自加工零件的數(shù)量y（件）與時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)圖像如圖4所示．

（１）求甲組加工零件的數(shù)量ｙ與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（２）求乙組加工零件總量a的值．

（３）甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每夠３００件裝一箱，零件裝箱的時(shí)間忽略不計(jì)，求：經(jīng)過多長時(shí)間恰好裝滿第一箱？再經(jīng)過多長時(shí)間恰好裝滿第二箱？

變式３分析

變式３是長春市２０１１年中考試題. 這道題的情境符合生活實(shí)際，問題的表述更加科學(xué)規(guī)范，最后一問涉及分類討論，具有一定的區(qū)分度. 從這道中考試題的演變過程，讓我們看到了數(shù)學(xué)的魅力，不僅能幫我們解決生活中的問題，還會(huì)讓我們思維更加縝密，視角更加開闊.

學(xué)數(shù)學(xué)離不開做題，怎樣做題卻是值得每位一線教師深思的. 我們不應(yīng)該僅僅停留在解題層面，而更應(yīng)該研究它，要知道它是從哪里來要到哪里去，并挖掘出它的本質(zhì)是什么，找到其考查的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的關(guān)鍵. 在解數(shù)學(xué)綜合題時(shí)，尤其需要用數(shù)學(xué)思想方法來統(tǒng)帥，去探求解題思路，優(yōu)化解題過程，驗(yàn)證所得結(jié)論，這就要求教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法、解題技巧、數(shù)學(xué)思想方面的訓(xùn)練，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)能力，在落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，能更加靈活地駕馭中考試題.