初中幾何題的常見錯誤例析

顧娟

在初中幾何教學和學習中，不少同學在解幾何題時，都存在著這樣或那樣的錯誤問題，下面列舉一些最常見的幾類錯解，希望能通過這幾類錯誤問題的分析和解答，對正在學習幾何的初中學生能提供一定的幫助和指導作用.

一、憑主觀感覺畫圖

有些幾何問題沒有給出一定的圖形，很多學生在做這類習題時，往往憑自己的感覺去畫圖進行求解，學生們一般都會怱視問題討論，從而得出不完整的結果.

例１ 在⊙Ｏ中弦ＡＣ和ＡＢ的夾角為６０°，Ｐ和Ｑ分別是和的中點，請你求出∠ＰＯＱ的度數.

錯誤解法 如圖１，∵ Ｐ和Ｑ分別是和的中點，由垂徑定理的推論可知，ＯＰ⊥ＡＢ，ＯＱ⊥ＡＣ . ∴ ∠ＰＯＱ ＝ １８０° － ∠Ａ ＝ １８０° － ６０° ＝ １２０°.

錯解分析 以上過程看上去好像沒有什么錯誤，由于本題沒有給出特定的圖，同時題中也沒有說明圓心Ｏ與∠ＢＡＣ的位置關系，所以要分類討論圓心Ｏ與∠ＢＡＣ的位置.

圖２表示圓心Ｏ在∠ＢＡＣ的一個邊上，則∠ＰＯＱ ＝ １２０°或６０°；

圖３表示圓心Ｏ在∠ＢＡＣ的外部，則∠ＰＯＱ ＝ ６０°.

所以，從圖１、圖２、圖３可知，∠ＰＯＱ ＝ １２０°或６０°.

二、沒有考慮到對應關系

有些幾何習題中隱含著一定的對應關系，如果學生不能細致地分析問題，就會作出答案不全的結果.

例２ 已知△ＡＢＣ和△ＡＢＤ相似，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，邊ＡＣ ＝ ａ，ＢＣ ＝ ｂ，求△ＡＢＤ的斜邊ＡＤ上的高.

錯誤解法 如圖４，過Ｂ作ＢＥ⊥ＡＤ于Ｅ，則∠ＢＥＡ ＝ ∠ＢＣＡ ＝ ９０°.

∵ △ＡＢＣ和△ＡＢＤ相似，

∴ ∠ＣＡＢ ＝ ∠ＢＡＤ，

又∵ ＡＢ是△ＡＢＣ和△ＡＢＥ的公共邊，

∴ △ＡＥＢ≌△ＡＣＢ，

∴ ＢＥ ＝ ＢＣ ＝ ｂ，即△ＡＢＤ的斜邊ＡＤ上的高為ｂ.

錯解分析 本題給出的“△ＡＢＣ與△ＡＢＤ相似”，但沒有指明這兩個三角形的對應關系（“△ＡＢＣ與△ＡＢＤ相似”不等于“△ＡＢＣ∽△ＡＢＤ”），以上解法錯誤地認為“△ＡＢＣ與△ＡＢＤ相似”已把兩個三角形的對應邊確定了. 實際上，題意中還存在著另外一種情況，如圖５，這種情況下，可以求出ＢＥ ＝ ＡＣ ＝ ａ，所以△ＡＢＤ的斜邊ＡＤ上的高應為ａ或者ｂ.

三、用一種特例代替結論

在初中幾何學習中，有些同學為了方便省事，有時就利用特殊情況或極端假設下得出的結論去代替問題的結論，這樣就犯了以偏概全的毛病.

例３ 證明：直徑是圓中最長的弦.

錯誤證法 如圖６，作圓Ｏ，作圓０的一個直徑ＡＢ和一個弦ＢＣ，然后將ＯＣ連接.

∵ ＡＢ ＝ ＯＡ ＋ ＯＢ ＝ ＯＣ ＋ ＯＢ ＞ ＢＣ，

∴直徑是圓中最長的弦.

錯解分析 證明圓中直徑是最長的弦，應該是證明在圓中直徑比任意一條弦都長. 不是直徑的弦不一定就是與該直徑有一個重合的端點，以上證明只能說明直徑ＡＢ比弦ＢＣ長，而不能說明在這個圓中直徑ＡＢ比所有的弦都長，它是用一種特例代替了結論，這樣就犯了以偏概全的錯誤. 正確的證法應該是這樣：如圖７,作圓O，作⊙Ｏ的直徑ＡＢ和弦ＣＤ，且弦ＣＤ是⊙Ｏ中任意一個非直徑的弦，將ＯＣ，ＯＤ連接，由于ＯＣ，ＯＤ，ＯＡ都是圓Ｏ的半徑，所ＯＡ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ，而在△ＤＯＣ中，ＯＣ ＋ ＯＤ ＞ ＣＤ，而ＡＢ ＝ ２ＯＡ ＝ ＯＣ ＋ ＯＤ ＞ ＣＤ，所以直徑是圓中最長的弦. 一定要強調“ＣＤ是任意一條弦”.

四、把證明的結論當條件用

有些同學在做幾何證明題時，有時會把要證明的結論拿來當條件使用，這樣通過循環使用論證，再得出所要證明的結論.

例４ 在圖８中，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，ＡＣ是一條弦，∠Ａ ＝ ３０°，Ｄ是ＡＢ延長線上一點，且ＤＢ ＝ ＯＡ，連接ＣＤ. 證明：ＣＤ是⊙Ｏ的一條切線.

錯誤證法 連接ＣＯ，ＣＢ，∵ ＡＯ ＝ ＣＯ，∠Ａ ＝ ３０°，

∴ ∠ＣＯＢ ＝ ６０°，又∵ ＢＯ ＝ ＣＯ，

∴ △ＣＯＢ是等邊三角形，因此∠ＯＣＢ ＝ ∠ＣＢＯ ＝ ６０°.

∵ ＤＢ ＝ ＡＯ ＝ ＢＯ，∴ ＢＣ是Ｒｔ△ＤＣＯ斜邊上的中線，

∴ ＢＣ ＝ ＤＢ，∴∠ＢＣＤ ＝ ３０°，∴∠ＤＣＯ ＝ ６０° ＋ ３０° ＝ ９０°，即ＣＤ是⊙Ｏ的一條切線.

錯解分析 以上證法表面看上去，好像沒有什么錯誤，如果仔細檢查，就會發現“ＢＣ是Ｒｔ△ＤＣＯ斜邊上的中線”這一句有問題，Ｒｔ△ＤＣＯ是怎么知道的呢？假如△ＤＣＯ是直角三角形，不就說明了ＣＤ是圓Ｏ的切線了嗎？以上證法就是不知不覺地把要證明的結論“ＣＤ是⊙Ｏ的切線”當作已知條件進行使用. 所以上述解答是錯誤的. 應該這樣證明：

連接ＣＯ，ＣＢ，∵ＡＯ ＝ ＣＯ，∠Ａ ＝ ３０°，∴∠ＣＯＢ ＝ ６０°，

又∵ ＢＯ ＝ ＣＯ，

∴ △ＣＯＢ是等邊三角形，因此∠ＯＣＢ ＝ ∠ＣＢＯ ＝ ６０°.

∵ ＤＢ ＝ ＡＯ ＝ ＢＯ，

又∵ △ＣＯＢ是等邊三角形，

∴ ＤＢ ＝ ＢＯ ＝ ＣＢ，

∴∠ＤＣＢ ＝ ３０°，所以∠ＤＣＯ ＝ ６０° ＋ ３０° ＝ ９０°，即ＣＤ是⊙Ｏ的一條切線.