在錯誤中再生

李海燕

【摘要】 數學是作為衡量一個人能力的一門重要學科，相對其他學科，概念抽象，習題繁多，受其學科特點決定. 數學解題則是學生在學習數學過程中一項必不可少的內容. 學生的解題錯誤信息實際上是一種重要的教學資源. 怎樣充分地利用好這一資源來幫助學生認識產生錯誤的原因，是一個值得我們認真研究的課題.

【關鍵詞】 數學解題；錯誤信息

一、問題提出

數學解題是促使學生理解和掌握數學知識、應用數學知識的一個重要方式. 在解題過程中，由于個體認知能力的差異，學法解法的差異以及學生思維能力的差異，總是存在諸多的錯誤. 在數學學習中，一旦有了解題，則錯誤不可避免，我們無法達到使每名學生在解題中不犯錯誤的程度，但我們可以盡可能使學生在解題中少犯錯誤，減少出現錯誤的機會. 這除了教學中所需作出的努力外，我想，就其錯誤本身，也是一道美麗的風景，它能及時展示我們教學中存在的不足，了解學生在學習中存在的問題，幫助教師了解學生出現錯誤的成因，以便更好地促其發展. 因此，我要說，錯誤也美麗，我們應善待錯誤.

二、課堂教學過程回饋

學生在進行中考第二輪復習過程中，通常以橫向為主，以專題的形式進行深化提高，并周期性地做一些綜合練習，用相對較短的時間再作一個循環，以期突出重點，再度提升學生解決問題的能力. 學生由于認知結構方面的原因，求解時常常會出現這樣或那樣的錯誤. 怎樣幫助學生正確運用相關的知識點，有效地走出誤區呢？

1． 創設情境

和通常的復習課一樣，教師借助多媒體課件，系統地羅列了相關知識點和考點，然后提出一個問題：

如圖1，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｏ是ＣＤ邊的中點，以O為圓心、ＯＣ長為半徑作圓，交ＢＣ邊于點Ｅ．過Ｅ作ＥＨ⊥ＡＢ，垂足為Ｈ．已知⊙Ｏ與ＡＢ邊相切，切點為Ｆ.

（１）求證：ＯＥ∥ＡＢ；

（２）求證：ＥＨ ＝ ＡＢ；

（３）若 = ，求的值．

從不同的角度入手思考，可以得到這個問題不同的解法. 通過學生嘗試，看學生誰解得快，解得好，想到的方法不同.

問題提出后，猶如一石激起千層浪，學生的探究熱情被激發出來，他們躍躍欲試，立即投入到解法的探索中去.

２． 展示錯解

在學生求解的過程中，發現學生１和學生２很快得出了結果，他們所用的解法不同，但都是錯誤的，且具有一定的典型性和代表性. 于是，組織學生對此解法展開討論，進行辨析. 學生１在證明第（１）小題中用到了以下的方法：

證明 連接ＯＦ.

∵ ⊙Ｏ與ＡＢ切于點Ｆ，

∴ ＯＦ⊥ＡＢ.

∵ ＥＨ⊥ＡＢ，

∴ ＯＦ ∥ＥＨ，

∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°，

∴ ＯＥ ∥ＡＢ.

學生２在證明第（２）（３）小題中有如下過程：

證明 （２）連接ＯＦ.

∵ ⊙Ｏ與ＡＢ切于點Ｆ ，

∴ ＯＦ⊥ＡＢ.

∵ ＥＨ⊥ＡＢ，

∴ ＯＦ ∥ＥＨ.

又∵ ＯＥ∥ＡＢ，

∴四邊形ＯＥＨＦ為平行四邊形，

∴ ＥＨ＝ ＯＦ.

∵ ＯＦ ＝ ＣＤ ＝ ＡＢ，

∴ ＥＨ ＝ ＡＢ.

解 過Ｏ作ＯＧ⊥ＢＣ于Ｇ.

∵四邊形ＯＥＨＦ為平行四邊形，

又∵∠ＯＦＨ ＝ ９０°，

又∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ，

∴ ＯＥＨＦ為正方形，

∴ ＯＥ ＝ ＥＨ，∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＥＨ ＝ ９０°.

又∵ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°，

∴ ∠ＢＨＥ ＝ ∠ＯＧＥ ＝ ９０°.

∵ ∠Ｂ ＋ ∠ＨＥＢ ＝ ９０°，

∠ＯＥＧ＋∠ＨＥＢ ＝ ９０°，

∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＧ，

∴△ＥＨＢ ≌ △OEG，

∴ ＢＨ ＝ ＥＧ.

∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，ＯＧ⊥ＢＣ，

∴ ＥＧ ＝ ＥＣ,

∴= .

3． 錯題辨析

學生經過激烈地討論，發現這兩名學生的解法表面好像是對的，實際上卻都是錯誤的解法.

學生指出：學生１對ＯＦ∥ＥＨ后的同位角搞錯了，以為是∠ＢＨＥ與∠ＯＥＨ. 正確的解法可為：

在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ＤＣ．

∴ ∠Ｂ ＝∠Ｃ.

∵ ＯＥ ＝ ＯＣ，

∴ ∠ＯＥＣ ＝ ∠Ｃ，

∴∠Ｂ ＝ ∠ＯＥＣ，

∴ ＯＥ∥ＡＢ.

教師：學生２的解法表面上看來是正確的，那解法是否正確呢？學生指出：學生２所找的邊雖然相等，但并不是對應邊，由此解錯. 正確的做法為：

連接ＤＥ.

∵ ＣＤ是直徑，

∴ ∠ＤＥＣ ＝ ９０°，

則∠ＤＥＣ ＝ ∠ＥＨＢ.

又∵ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，

∴ △ＥＨＢ∽△ＤＥＣ，

∴= .

∵= ，

設ＢＨ ＝ ｋ，

則ＢＥ ＝ ４ ｋ，ＥＨ ＝= k，

∴ ＣＤ ＝ ２ＥＨ ＝ ２k，

∴=== .

錯誤往往是正確的先導，錯誤也往往是發現的先導，學生的“錯解”有其內在的合理性，從學生的“錯解”中揀出合理的成分，補救出新的解法，探索出新的規律和結論，讓學生“從跌倒的地方自己爬起來”，使學生獲得從失敗走向成功的思維過程的體驗.

4． 更進一步

教師又補充了這樣的一道題目：

如圖4，點Ｅ是平行四邊形ＡＢＣＤ的邊ＡＢ的中點，Ｆ是ＢＣ邊上一動點，線段ＤＥ和ＡＦ相交于點Ｐ，連接PC，過點A作ＡＱ∥ＰＣ交PD于Q．

（１）證明：ＰＣ ＝ ２ＡＱ；

（２）當點Ｆ為ＢＣ的中點時，試猜想PF = 2AP是否成立. 若成立，試說明理由；若不成立， 試求 的值．

探究是沒有止境的，學生在錯誤中發現了解題的思路和不同的方法.

法一：（１）連接AC交DE于點K，如圖5.

∵ ＡＥ∥ＤＣ，∴∠ＡＥＰ ＝ ∠ＣＤＰ，

又∠ＡＫＥ ＝ ∠ＣＫＤ，∴△ＡＫＥ∽△ＣＫＤ，

∴== .

∵AQ∥PC，∴∠KAQ = ∠PCK，

又∠AKQ = ∠CKP，

∴ △AKQ∽△CKP.

∴= ，

∵= ，∴ = ，

即ＰＣ ＝ ２ＡＱ．

法二：（１）延長ＤＥ，ＣＢ相交于點Ｒ，作ＢＭ∥ＰＣ，如圖5.

∵ AQ∥PC，BM∥PC，∴MB∥AQ. ∴∠AQE = ∠EMB.

∵ E是ＡＢ的中點，Ｄ，Ｅ，Ｒ三點共線，

∴AE = EB，∠AEQ = ∠BEM．

∴ △AEQ ≌ △BEM，∴ AQ = BM.

同理△AED ≌ △REB． ∴ AD = BR = BC，

∵ BM∥PC，∴ △RBM ∽△RCP，

相似比是． ∴ PC = 2MB = 2AQ．

（２）當點Ｆ為ＢＣ的中點時，PF = 2AP不成立．

作ＢＮ∥ＡＦ，交ＲＤ于點Ｎ，如圖6．

則△RBN ∽△RFP．

∵F是ＢＣ的中點，ＲＢ ＝ ＢＣ，

∴ RB = RF.

∴== ．

又AE = BE，∠NEB = ∠PEA，∠NBE = ∠PAE，

∴ △BNE ≌ △APE，

∴ AP = BN.

∴ AP = BN = PF.

即 = ．

珍視并合理地開發日常教學中的錯誤資源，注意在學生的錯誤中生成探究課題，以此為契機，引導學生開展探究活動，可以大大地激發學生課堂參與的熱情，讓死的知識活起來，變單純的傳遞與接受為積極主動的發現和構建，從而達到轉變課堂教學功能和學習方式的目的，使課堂充滿生命的活力，在師生不斷地“識錯”、“思錯”和“糾錯”的過程中，新的問題不斷地被發現，新的資源不斷地生成，這對于教學視野的拓展、教學觀念的轉變以及學生創造性智慧的激發都可以起到十分重要的作用.

三、教學感悟

面對日常教學中學生出現的錯解，教師怎樣才能有效地幫助學生認識產生錯誤的原因，使學生從錯誤中走出來呢？實際教學中，許多教師喜歡采用“告訴”的方法，一是針對學生解題中出現的錯誤，進行集中講評，告訴學生錯因和注意事項，要求學生不要再犯類似的錯誤；二是對學生容易出錯的問題，提前暗示，事先指出，叫做“防患于未然”，但效果往往是學生聽起來懂，做起來錯，學生責怪自己粗心，教師埋怨學生太笨. 果真如此嗎？心理學家貝恩布里說過：“差錯人皆有之，而作為教師，對學生的錯誤不加以利用則是不能原諒的. ”而犯錯誤、糾正錯誤的過程也是一種學生對錯誤的認識，也應該由學生自己建構起來，成功的樂趣只有在經歷挫敗的痛楚后才能獲得更深切的體驗.

【參考文獻】

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