初中數學思維轉換能力的培養

劉繼宏

【摘要】 同學們在解決數學問題的時候，一定遇到過這樣的情況：有一些題目，與我們頭腦中形成類型的解題模式不同. 這時，我們必須擺脫慣用的思考方法、解題步驟的束縛，改變解題的思路方向，尋找新的途徑. 這種方法上的轉變反映了數學思維的靈活性，這就是思維轉換能力. 思維轉換降低了解題的難度，提高了解題速度和解題能力.

思維轉換能力是數學能力對思維品質提出的要求. 轉換能力就是從一種心理運算轉變為另一種心理運算. 一些題目與頭腦中形成類型的解題模式不同時，必須擺脫慣用的思考方法、解題步驟的束縛，改變解題的思路方向，尋找新的途徑. 這種方法上的轉變反映了數學思維的靈活性. 如果新的方法獨特簡便，解題思路新穎，則表現為某種程度的創造性.

例 ａ，ｂ，ｃ，ｄ均為正整數，求證：存在一個三角形，其三邊之長分別為

分析 若用三角形三邊關系證明， 顯然很困難. 考慮到可看作以ｂ，ｃ為直角邊的直角三角形的斜邊， 類似的，可看作以（ａ ＋ ｂ）和ｄ為直角邊的直角三角形的斜邊， 可看作以ａ和（ｃ ＋ ｄ）為直角邊的直角三角形的斜邊. 我們構造出如圖1的矩形，顯然△ＣＥＦ的三邊即為題中的三個式子.

思維轉換降低了解題的難度，提高了解題速度和解題能力. 培養思維轉換能力應從以下幾方面入手：

一、廣泛聯想

聯想是從一事物想到另一事物的心理過程，按聯想的方向途徑來分，有以下幾種：

１. 接近聯想

根據問題中的某一方面與已經熟悉的問題的某些方面比較接近而引起的聯想. 例如解方程組 += a， = b，可聯想方程組x + y = m，xy = n的解法.

２. 類比聯想

根據問題與某一問題相似性而展開的聯想. 例如，已知ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ２Ａ ＝ １，求證：ｃｏｓ２Ａ ＋ ｃｏｓ４Ａ ＝ １. 啟發學生觀察已知條件與關系式ｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ａ ＝ １相似，可得解法.

∵ ｓｉｎ Ａ ＝ １ － sｉｎ２Ａ ＝ ｃｏｓ２Ａ，

∴ ｃｏｓ２Ａ ＋ cos４Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ２Ａ ＝ １.

３. 逆向聯想

數學中的逆定理的發現和存在，啟發人們一種聰明的思維方法——逆向聯想. 這種思維是學習和研究數學不可少的重要思維方式，然而不少學生對顯而易見的逆向思維問題看不出來. 例如對于式子（x ＋ ２）（x２ － ２x ＋ ４）常逐項相乘，不知它就是立方和公式的逆用. 在教學中注意引導學生認識其間的可逆關系，不但可以加深對知識的理解，而且會提高應用時的靈活性、深刻性. 例如：若方程x２ ＋ ４ｍｘ － ４ｍ ＋ ３ ＝ ０，x２ ＋ ２ｍｘ － ２ｍ ＝ ０，x２ ＋ （ｍ － １）ｘ ＋ ｍ２ ＝ ０中至少有一個方程有實數根，求實數ｍ的范圍. 注意這里的關鍵詞語“至少”，它包含三層意思：三個方程都有實根；其中兩個方程有實根；其中一個方程有實根. 逐次討論ｍ的范圍是十分復雜的，于是引導學生考慮“至少”的反面是什么？學生很容易答出“三個方程均無實根”，因而由三個判別式都小于零，得到不等式組，并解得－ ＜ ｍ ＜ －１，所以當 － ＜ ｍ ＜ －１時，三個方程均無實根. 當ｍ ≤ －或ｍ ≥ －１時，三個方程中至少有一個方程有實根.

二、推廣引申

１. 把條件開拓引申

條件在命題中居于主導地位，結論是條件決定的. 條件改變了，結論可能隨之變化. 改變條件有兩種：

（1）把特殊條件一般化

放寬對條件的限制，從而推得更為普遍性的結論. 例如切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等. 若把條件中的“兩條切線”減弱為“一條切線和一條割線”就得到“切割線定理”；如果再減弱為“兩條割線”就得到“割線定理”.

（2）把一般條件特殊化

把條件加強來研究會有什么變化，從而獲得新的結論. 例如：順次連接任意四邊形四邊的中點，所得四邊形為平行四邊形. 把任意四邊形這個條件加強為平行四邊形、矩形、菱形、正方形，又會得出什么結論呢？

２. 把命題的結論推廣、引申，使命題深化

如“順次連接任意四邊形四邊的中點，所得四邊形為平行四邊形，其周長之和等于原四邊形對角線之和”. 又如“三角形中位線定理”可引申為“以三條中位線為邊的三角形面積是原三角形面積的四分之一”.

３. 把題型推廣、引申

同一命題給予不同的提法，就可以變成不同的題型，但其證法相同或類似，謂之“多題一解”. 如命題“四個連續自然數之積再加一，是一個完全平方數”推廣引申為

“ 是整數（ｎ為自然數）. ”

４. 把證明方法推廣引申

一個命題從不同角度考慮，可以有不同的思路，不同的證法，謂之“一題多解”. 例如：證明定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

分析一 要證明ＣＤ ＝ ＡＢ，只要證ＣＤ ＝ ＢＤ，即只要證Ｄ在ＢＣ的垂直平分線上.

方法一：作ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，只要證ＢＥ ＝ ＣＥ.

∵ ＤＥ∥ＡＣ，ＡＤ ＝ ＢＤ，

∴ ＢＥ ＝ ＣＥ（如圖2）.

∴ CD = BD = AB.

方法二：取ＢＣ中點Ｅ，連接ＤＥ，

由三角形中位線定理，得ＤＥ∥ＡＣ，

又∵∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＤＥ⊥ＢＣ（如圖2）.

∴ CD = BD = AB.

分析二 要證ＡＢ ＝ ２ＣＤ，延長ＣＤ到Ｅ，使ＤＥ ＝ ＣＤ.

∵對角線互相平分的四邊形ＡＣＢＥ為平行四邊形，且∠ＡＣＢ ＝ ９０°，

∴ ＡＣＢＥ為矩形，

∴ ＡＢ ＝ ＣＥ，

∴ ＣＤ ＝ ＣＥ ＝ ＡＢ（如圖3）.

分析三 找出等于ＡＢ的線段，連接ＡＣ與ＢＣ的中點Ｅ，Ｆ，則ＥＦ等于ＡＢ，可證ＣＥＤＦ為矩形.

∴ ＣＤ ＝ ＥＦ ＝ ＡＢ（如圖4）.

分析四 找一線段等于ＡＢ，再證ＣＤ為這一線段的即可.

延長ＢＣ到Ｅ，使ＣＥ ＝ ＢＣ，連接ＡＥ，

由三角形中位線定理知，ＣＤ ＝ ＡＥ.

又 ∵ Ｒｔ△ＡＢＣ ≌ Ｒｔ△ＡＥＣ，

∴ ＡＥ ＝ ＡＢ，

∴ ＣＤ ＝ ＡＥ ＝ ＡＢ（如圖5）.

通過一題多解的訓練，能夠開闊思路，增強綜合運用數學知識的能力，調動學生學習的積極性.

５. 把條件和結論交換或部分交換或等價交換，推廣引申新的命題

例如平行線的性質定理“兩直線平行，同位角相等（內錯角相等，同旁內角互補）”，把條件和結論交換，就得到平行線的判定定理. 又如垂直定理“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧”，把條件或結論中的部分交換就可推出垂徑定理的推論.

推廣引申是一種較高的要求. 它有利于培養學生的發散思維能力，是培養發現、發明創造能力的有效途徑.

三、轉換化歸

轉換化歸的思維，反映了數學思維最本質的特征. 它滲透到各個方面，如“形”與“數”的轉換，“已知”與“未知”的轉換，實際問題與數學問題的轉換等. 運用轉換化歸的思想改變問題的形式，使條件與結論之間的邏輯關系明朗化、簡單化. 觀察、聯想、類比是實現化歸的根本途徑，變換、轉化是化歸思想的實質. 學生一旦形成了自覺化歸意識，就可熟練地、巧妙地作各種轉化，化繁為簡，化隱為顯，化難為簡，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體等. 例如，把減法運算轉化為加法運算；把異分母分式轉化為同分母分式；把一元一次方程通過去分母、去括號、移項、合并同類項、方程兩邊同除以未知數的系數，最后轉化為最簡方程 x ＝ ａ；將多元方程組轉化為一元方程組；將高次方程化為低次方程；將無理方程化為有理方程等. 又如在平面幾何中，三角形是基本圖形，四邊形或多邊形的問題多半要轉化為三角形來解決.

在數學活動中，思維轉換能力是邏輯推理能力的重要部分. 在教學中，應根據教材特點，不失時機地培養學生這一方面的能力.