換一只眼看數學

周海清

函數思想是數學思想的重要組成部分，在高中數學中起到橫向聯系和紐帶連接的主干作用. 用變量和函數來思考問題的方法就是函數思想. 具體講就是通過類比聯想轉化，合理地構造函數，從而有效降低題目難度，以達到輕松解題的目的. 函數思想的運用范圍不僅在函數問題的高考試題中，而且在不等式、數列、解析幾何等問題中也有不俗表現.

1. 數列

數列從本質上來講是函數，用函數思想解決數列問題不但能夠加深對數列概念的理解，而且能加強知識點間的聯系.

例1 等差數列｛bn｝中，b1 > 0，前n項的和為Tn，若Tl = Tk（l ≠ k），當n取何值時Tn最大？

解析 運用數列中的通項公式的特點，把數列問題轉化為函數問題解決.

設ｆ（ｎ） ＝ Ｔｎ ＝ ｎｂ１ ＋ ｄ，ｎ∈Ｎ，

則ｆ（ｎ） ＝ ｄｎ２ ＋ （b１ － ）ｎ，此函數是以ｎ為自變量的二次函數．

∵ b１ ＞ ０，Ｔｌ ＝ Ｔｋ（ｌ ≠ ｋ），

∴ d < 0，

∴ 二次函數ｆ（ｎ）的圖像開口向下．

∵ ｆ（ｌ） ＝ ｆ（ｋ），

∴ 當ｘ ＝時， ｆ（ｘ）最大，但ｆ（ｎ）中ｎ∈Ｎ，

∴ 當l + k為偶數時，n = 時，Tn最大.

當l + k為奇數時，n = 時，Tn最大.

2. 平面解析幾何

在解決平面解析幾何問題時，若是能夠通過仔細讀題，發現某些點、線之間的聯系，并用函數來刻畫，往往會起到事半功倍的效果.

例2 設a > b > c且a + b + c = 0，拋物線y = ax2 + 2bx + c被x軸截得的弦長為m，證明： < m < 2.

解析 由于弦長m是與ａ，ｂ，ｃ有關的變量，若能找到它們之間的關系式，問題就變簡單了.

∵ a > b > c且a + b + c = 0，

∴ ａ ＞ ０，ｃ ＜ ０.

∵ Δ = 4b2 - 4ac > 0，

故方程ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０必有兩個不同實根ｘ１，x2 .

∴ m2 = （ｘ１ － ｘ２）２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ４ｘ１ｘ２ ＝-=

４（ - ） = 4［(1 + )2 - ］ = 4（ + ）2 + 3.

∴ m2是的二次函數，由a > b > c且a + b + c = 0，可知-2 << -，當< -時，m2是單調遞減的．

∴ ４（－ ＋ ）２ ＋ ３ ＜ ｍ２ ＜ ４（－２ ＋ ）２ ＋ ３，

即3 < m2 < 12，又m > 0，

∴< m < 2.

例3 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e = ，已知點P（０，）到這個橢圓上的點的最遠距離為，求這個橢圓的方程，并求出橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

解析 設橢圓的方程為 += 1，因為e = ，

∴== ，

∴ a = 2b，故 +＝ １．

設橢圓上的點P１（ｘ，ｙ）到P的距離為ｄ，則

ｄ２ ＝ ｘ２ ＋ （ｙ － ）２ ＝ ４ｂ２ － ４ｙ２ ＋ ｙ２ － ３ｙ ＋＝

－３（ｙ ＋ ）２ ＋ ４ｂ２ ＋ ３（－ｂ ≤ ｙ ≤ ｂ）.

若ｂ ＜ ，則當ｙ ＝ －ｂ時，ｄ２ｍａｘ ＝ （ｂ ＋ ）2，

∴ （）2 = （ｂ ＋ ）2，

即b =-> ，與b < 矛盾.

若b ≥ ，則當y = - 時，d2max = 4b2 + 3.

∴ （）2 = 4b2 + 3，得b = 1.

∴ a = 2.

綜上所述，橢圓方程為 ＋ ｙ２ ＝ １，且橢圓上的點（±，）到點P的距離等于.

3. 組合

例4 證明：當ｎ ≥ ３時，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.

證明 設ｆ（ｘ） ＝ （１ ＋ ｘ）ｎ ＝ Ｃ ＋ Ｃｘ ＋ Ｃｘ２ ＋ … ＋ Ｃｘｎ，

ｆ（１） ＝ Ｃ ＋ Ｃ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ，

＝ １ ＋ ｎ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ ＋ ｎ ＋ １

＝ ２（１ ＋ ｎ） ＋ （Ｃ ＋ … ＋ Ｃ） ＝ ２ｎ.

當ｎ ＝ ３時，２ｎ ＝ ２（１ ＋ ｎ），

當ｎ ＞ ３時，２ｎ ＝ 2（１ ＋ ｎ） ＋ Ｃ ＋ … + Ｃ，

∴ 當ｎ ≥ ３時，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.

4. 解不等式問題

在解決有些不等式問題時，若運用函數的視野去分析、推理的話，可以讓證明輕松許多.

例5 證明不等式： < （ｘ ≠ ０）.

解析 一般證法是分x > 0或x < 0討論，但運算量較大. 這里不妨試試構造函數ｆ（ｘ） =- （ｘ ≠ ０）.

∵ ｆ（－ｘ） =-= －ｘ（１ ＋ ） ＋=-= ｆ（ｘ）,

∴ ｆ（ｘ）是偶函數. 當x > ０時，１ － ２ｘ ＜ ０，從而ｆ（ｘ） ＜ ０，

于是ｘ ＜ ０時，ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ） < 0，

故當x ≠ 0時，恒有ｆ（ｘ） < 0，即 < （ｘ ≠ ０）.

5. 求值

求某些代數式的值時，可以將代數式轉化為函數式，以提 高解題速度.

例 ６ 如果實數ａ，ｂ滿足（ａ － ２）２ ＋ ｂ２ = 3，那么的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

解析 由已知，等式兩邊同除以a2得項，同時可得到關于的二次函數，求此函數值最大值即可.

兩邊同除以ａ２，得

（）2 -+ 1 += 0.

即（）2 = -（ - 2）2 + 3,

又 ｂ２ ＝ ３ － （ａ － ２）２ ≥ ０,

∴ 2 -≤ a ≤ 2 + ,

當 = 2，即a = ∈［2 - ，２ + ］時，（）2max =3，

∴ （）max = .

例7 設實數ｘ，ｙ滿足x3 + 2x + a = 0，y3 + 2y - a = 0，試求x + y的值.

解析 直接解這兩個方程，顯然運算量太大，不明智，通過觀察發現，可把兩個方程變為：ｘ３ ＋ ２ｘ ＝ －ａ，ｙ３ ＋ ２ｙ ＝ ａ．

構造函數ｆ（ｔ） ＝ ｔ３ ＋ ２ｔ（ｔ∈R）， 顯然ｆ（－ｔ） ＝ －ｆ（ｔ），

∴ｆ（ｔ）為奇函數.

∵ ｆ（ｘ） ＝ －ａ，ｆ（ｙ） ＝ ａ，所以ｆ（ｘ） ＝ －ｆ（ｙ），

又ｆ（ｔ）為奇函數，所以ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｙ）.

易證，ｆ（ｔ）為增函數，所以ｘ＝－ｙ，

故ｘ ＋ ｙ ＝ ０．

通過上面的例子，我們可以看到，函數思想作為重要的數學思想之一，滲透在很多知識點里面，我們平時在教學時應注意多去發掘、培養、訓練、強化這種解題思想，讓它不只是局限在用來專門解函數題上面，而應該有更廣泛的應用. 善用它，可使我們在解決相關題目時更輕松、更高效.