解題過程中巧用“提取公因式法”

李秀菊

對于初中生來說，多數人僅把因式分解當作獨立的一部分內容，要求分解因式時，才會想到提公因式，否則很難想到還有其他用途．實際上在大量的代數計算中，特別是解方程（組）和勾股定理的應用過程中，如果能熟練地應用提公因式法，會減少繁瑣的豎式計算，使運算變得簡單明了，進而通過口算即可得出結果，既省功又省時，并且能夠明顯地提高計算的準確性．平時教學中有意識地進行這方面的訓練，能增強學生對學以致用的認識，尤其對目前計算器不能進考場更是一種挑戰．

例１ 有一個邊長為５０ 分米的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結果保留整數）

解 一般解法：

由題意知，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，

AC ==≈ 71.

則圓的直徑至少７１分米. 此時，學生只能用計算器計算．

提公因式法：AC ===

50 ≈ 50 × 1.414 ≈ 71.

這里 ≈ 1.414學生是熟悉的．

練習鞏固：

Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠C為直角，

（１）ＡＣ ＝ １２，ＢＣ ＝ ８，求ＡＢ；

（２）ＡＣ ＝ １６，ＢＣ ＝ ，求ＡＢ.

解 提公因式法：

（１）ＡＢ ＝== 4.

（２）ＡＢ ＝== .

提公因式法使得二次根式運算中不求近似值，只需化成最簡根式的題目尤為簡便．

運用提公因式法計算需要注意的是：

（１）對于數值計算，先不要急于求出數的乘積；

（２）對于較大的整數應分解質因數．

例2 不解方程，判別方程１６y2 ＋ ９ ＝ ２４ｙ根的情況，求判斷式的方法.

解 一般解法：Δ ＝ （24）2 － ４ × １６ × ９ ＝ ５７６ － ５７６ ＝ ０．

提公因式法：Δ ＝ （２４）2 － ４ × １６ × ９＝ ２４（２４ － ２４） ＝ ０.

比較兩種方法，后者口算即可．

例3 解方程： ３０ × １６％ ＝ （３０ ＋ ｘ） × ０．１５％.

解 提公因式法：３０ × １６ ＝ （３０ ＋ ｘ） × ０．１５，

０．１５ｘ ＝ ３０ × １６ － ３０ × ０．１５，

０．１５ｘ ＝ ３０ × （１６ － ０．１５），

０．１５ｘ ＝ 3０ × １５．８５，

ｘ ＝３７１０.

例４ 解方程： += 5.

解 提公因式法：１９ｘ ＋ ２１ × １０１ － ２１ｘ ＝５ × ２１ × １９，

２ｘ ＝２１ × １０１ － ５ × ２１ × １９，

２ｘ ＝２１（１０１ － ９５），

x ＝６３.

例５ 求方程x2 ＋ １２ｘ － ８６４ ＝ ０的判別式的值.

解 提公因式法：Δ ＝ １２２ － ４ × （－８６４）

＝ 122（１ ＋ ２４）

＝ 122 × 52

＝ 602.

也可以嘗試逐步提取：

Δ ＝ 122 － ４ × （－８６４）

＝ １２ × （１２ ＋ ２８８）

＝ １２ × １２（１ ＋ ２４）

＝ 122 × 52

＝ 602.

例６ 解方程組：２（ｘ － １５０） ＝ ５（３ｙ ＋ ５０），１０％ｘ ＋ ６％ｙ ＝ ８５％ × ８００.

解 提公因式法：２ｘ － １５y ＝ 550，5x + 3y = 85 × 40.

２７ｘ ＝ ５５０ ＋ ８５ × ４０ × ５，（分解質因數）

２７ｘ ＝ ５０（１１ ＋ ３４０），（提公因式）

２７ｘ ＝ ５０ × ３５１，

ｘ ＝ ５０ × １３，

ｘ ＝ ６５０.

代入求ｙ，

１５ｙ ＝ ６５０ × ２ － ５５０，

１５ｙ ＝ ５０（２６ － １１），（提公因式）

１５ｙ ＝ ５０ × １５，

ｙ ＝ ５０，

ｘ ＝ 650，y = 50.

總之，“提公因式法”這一解題技巧在計算過程中隨處可用，學生若能熟練掌握，準確應用，可明顯提高解題效率．