探析初中幾何問題的解題方法及要領(lǐng)

吳蕾

隨著教育與課程的不斷改革，初中數(shù)學(xué)中的幾何教學(xué)課程也發(fā)生了很大變化. 新課程將初中幾何內(nèi)容大致分為了圖形認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明四大模板. 從研究方式上，也可將其分為實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，在幾何問題的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何邏輯推理能力. 那么如何更好的落實(shí)新課程目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力呢？筆者結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于論證幾何教學(xué)進(jìn)行了深入的思考，總結(jié)了一些論證幾何教學(xué)的基本策略.

一、將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言

幾何教學(xué)中存在著不同形式的語言，大致有圖形語言、文字語言和符號(hào)語言三種. 教師在教學(xué)過程中，首先要讓學(xué)生理解掌握這三種不同的語言，繼而還需培養(yǎng)學(xué)生將這三種語言相互間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力. 不同語言在幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不同的作用. 圖形語言一般較為直觀，能夠形象地向?qū)W生展示問題；而文字語言則是概括和抽象的，重點(diǎn)是對(duì)于圖形或圖形本身中蘊(yùn)含的深層關(guān)系予以準(zhǔn)確的描述，對(duì)幾何的定義、定理、題目等予以精確的表述；符號(hào)語言則是對(duì)于語言文字的再次抽象，它具有簡化作用，有更深的抽象性，也是最難掌握的一種，是邏輯推理必備的能力基礎(chǔ)所在. 初中階段的學(xué)習(xí)需要循序漸進(jìn)，由簡單推理再到符號(hào)表示進(jìn)行推理. 教師在教學(xué)過程中應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，培養(yǎng)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為特定符號(hào)的意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力，從而為論證幾何的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ). 二、將題目所含條件轉(zhuǎn)化為圖形

幾何題目中，用各種不同符號(hào)把已知條件通過圖形直觀的表達(dá)出來，對(duì)于處理較復(fù)雜的幾何問題有很大的幫助. 學(xué)生中普遍存在“看圖忘條件”的現(xiàn)象，無法將題目與圖形有機(jī)結(jié)合起來，教師需要培養(yǎng)學(xué)生畫圖的意識(shí)，這樣方便將題目中的條件直觀清晰地呈現(xiàn)出來，實(shí)現(xiàn)條件與圖形的有機(jī)融合，幫助學(xué)生理清做題思路.

例1 已知點(diǎn)Ｅ，Ｆ在ＢＣ上，ＢＥ ＝ ＣＦ，ＡＢ ＝ ＤＣ，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ. 求證：∠Ａ ＝ ∠Ｄ.

分析 如圖1，將已知條件通過畫圖展現(xiàn)出來，這樣可以將已知條件在圖形中得以直觀的表現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生也是一種暗示和提醒，利于問題的有效解答.

三、培養(yǎng)綜合解決問題的能力

綜合化解決問題，即指導(dǎo)學(xué)生在分析問題時(shí)從已知條件出發(fā)，從結(jié)論入手，結(jié)合圖形進(jìn)行解答. 綜合分析法是幾何題目解題中通常會(huì)用到的邏輯思維方法. 其特點(diǎn)在于從已知推可知，逐步再推出未知，從未知看需知，逐步靠近已知. 在較為復(fù)雜的問題當(dāng)中，需要良好地運(yùn)用綜合分析法，從已知出發(fā)，從結(jié)論入手，形成完整的體系，尋求最后解決問題的接洽點(diǎn)所在，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.

例２ 如圖2，分別以△ＡＢＣ的邊ＡＢ，ＡＣ為直角邊向△ＡＢＣ外部作等腰直角三角形ＢＤＡ和等腰直角三角形ＣＥＡ，點(diǎn)Ｐ，Ｍ，Ｎ分別為ＢＣ，ＢＤ，ＥＣ的中點(diǎn). 求證：ＰＭ ＝ ＰＮ.

分析 若從已知條件出發(fā)，“△ＢＤＡ和△ＣＥＡ是等腰直角三角形”，即可輕易的推出結(jié)論，ＡＢ ＝ ＡＤ，ＡＣ ＝ ＡＥ，再根據(jù)做題思路，即可得出△ＡＤＣ ≌ △ＡＢＥ，從而可以得到△ＡＤＣ和△ＡＢＥ的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等. 若從結(jié)論“ＰＭ ＝ ＰＮ”入手，從未知看需知. 則思路可以如下：已知ＰＭ和ＰＮ分別是△ＢＤＣ和△ＣＢＥ的中位線，所以只需證ＣＤ ＝ ＢＥ. 從已知條件出發(fā)我們可以得到ＣＤ ＝ ＢＥ，從結(jié)論入手我們需要ＣＤ ＝ ＢＥ，這樣相當(dāng)于我們找到了題目的接洽點(diǎn)所在，問題也就迎刃而解了.

綜合分析法不僅幫助學(xué)生高效率地解答幾何題目，從而幫助學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思維，利于學(xué)生綜合思維能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生解決問題的能力和水平.

四、靈活進(jìn)行圖形變換

新課程中的初中數(shù)學(xué)增添了圖形變換的內(nèi)容，如平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等. 靈活進(jìn)行圖形變換即是將圖形變換作為一種解題思路方法，通過圖形變換為學(xué)生解決幾何問題打開一扇窗.

例３ 如圖3，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ邊上移動(dòng)，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，ＡＦ交ＣＤ于Ｆ，連接ＥＦ. 求證：ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ.

分析 這道題目需要增添輔助線來助于解答，因此對(duì)于大部分學(xué)生來說是比較難的. 增添輔助線是幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容，該題中要證ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ，就需要將分散的線段ＢＥ，ＤＦ集中起來，若運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換法，將△ＡＤＦ繞點(diǎn)Ａ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)９０°，如圖4，即可將ＢＥ和ＤＦ轉(zhuǎn)到同一直線上，得到線段ＢＥ與ＤＦ的和，繼而可將三條線段ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ構(gòu)造到一對(duì)全等三角形中. 這樣就輕易地得到了輔助線法證明思路：延長ＣＢ到Ｍ，使ＢＭ ＝ ＤＦ，連接ＡＭ，如圖5，得到ＭＥ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ，這時(shí)只需要證明△ＡＥＭ ≌ △ＡＥＦ就可解決問題了.

教師在幾何教學(xué)中，需要有意識(shí)地教導(dǎo)學(xué)生圖形變換的方法，讓學(xué)生掌握好平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱等相關(guān)知識(shí)，并能夠運(yùn)用這些知識(shí)探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法. 同時(shí)，這樣利于學(xué)生的空間想象力的培養(yǎng).

以上是筆者關(guān)于論證幾何問題中提出的一些做題思路和方法. 總而言之，論證幾何教學(xué)是幾何教學(xué)內(nèi)容的核心，是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需要對(duì)其進(jìn)行研究和思考，發(fā)掘有效的教學(xué)策略，提高論證幾何教學(xué)的效率，重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和綜合思考能力.