變式教學設計例談

陳桂芬

變式教學是在數學活動過程中，通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗．通俗的理解，變式教學就是指變換問題的條件和結論，變換問題的形式，而不變換問題的本質，使本質的東西更全面，使學生不迷戀于事物的表象，而能自覺地從本質看問題，同時使學生學會比較全面地看問題，使學生在習題的變換中，尋求以不變應萬變的解題方法，從而達到舉一反三的功效.

下面結合具體的案例設計，談談如何進行變式教學設計. 例題 人教版七年級上冊第７３頁數學活動１（１），如圖１所示，用火柴棍拼成一排由三角形組成的圖形，如果圖形中含有２，３或４個三角形，分別需要多少根火柴棍？如果圖形中含有ｎ個三角形，需要多少根火柴棍？

解析 每次增加的基本圖形如圖２所示，即每增加一個三角形，就增加兩根火柴，如果把第一個三角形看作是（１＋２）根，那么含有２個三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ５（根），含有３個三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ７（根），含有４個三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ９（根），含有ｎ個三角形需要火柴1 += （１ ＋ ２ｎ）根．

點評 這類問題的基本規律是，火柴總棒數 ＝ 基本圖形棒數 × ｎ ＋ （原圖形棒數 － 基本圖形棒數）．

變式１ 改變圖形，規律不變

例１ 如圖3是一組有規律的圖案，第１個 圖案由４個基礎圖形組成，第２個圖案由７個基礎圖形組成……第ｎ（ｎ是正整數）個圖案中由個基礎圖形組成．

解析 每次增加的圖形如圖4所示，所以第ｎ（ｎ是正整數）個圖案中由３ｎ ＋ （４ － ３） ＝ （３ｎ ＋ １）個基礎圖形組成的．

例２ 如圖5，用圍棋子按下面的規律擺圖形，則擺第ｎ個圖形需要圍棋子的枚數是．

解析 第１個圖形有５枚棋子，每次增加的圖形如圖6所示，它含有３枚棋子，所以第ｎ（ｎ是正整數）個圖形需要３ｎ ＋ （５ － ３） ＝ （３ｎ ＋ ２）枚棋子．

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養學生的化歸能力. 以上2題與課本題相比，只是改變了圖形，但其規律沒有變．特別是例１與課本題相比，更是如出一轍.目的２，是運用變式教學，確保學生參與教學活動的持續的熱情．課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要求學生有參與意識. 通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，因而能夠產生主動參與的動力，保持其參與教學活動的興趣和熱情.

變式２ 圖形不變，改變所求結論

例3如圖7，這是由邊長為１的等邊三角形擺出的一系列圖形，按這種方式擺下去，則第ｎ個圖形的周長是 .

解析 第一個三角形的周長是３，之后的每一個圖形都比前一個圖形的周長增加１，所以第ｎ個圖形的周長是ｎ ＋ （３ － １） ＝ ｎ ＋ ２．

例4 （人教七上課本Ｐ６１頁第１０題）觀察下圖并填表：

解析 根據圖形及表格中的已知數據可知，第一個圖形的周長是５ａ，之后每增加一個圖形，其周長增加３ａ，所以第５個圖形的周長為１７ａ，第６個圖形的周長為２０ａ…… 第ｎ個圖形的周長是３ｎａ ＋ （５ａ － ３ａ） ＝ ３ｎａ ＋ ２ａ ＝ （３ｎ ＋ ２）ａ．

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養學生的化歸能力. 例4與課本原題相比，圖形不變，而把求火柴棍數目變為求圖形的周長，其規律與課本原題類似，即第ｎ個圖形的周長 ＝ 每次增加的周長 × ｎ ＋（原圖形周長 － 每次增加的周長）. 但要提醒學生注意，圖形內部的邊不能當作圖形的邊長來計算周長. 目的２，是運用變式教學，培養學生思維的廣闊性．思維的廣闊性是發散思維的又一特征．思維的狹窄性表現在只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云．反復進行一題多變的訓練，是幫助學生克服思維狹窄性的有效辦法．現在課本中，有一部分例題的“想一想”是把例題進行變式訓練的，我們可以利用它們切實培養學生思維的廣闊性.

變式３ 圖形變復雜，但規律類似

例5 如圖９，用圍棋子按下面的規律擺圖形，則擺第ｎ個圖形需要圍棋子的枚數是 （ ）.

Ａ． ５ｎＢ． ５ｎ － １Ｃ． ６ｎ － １Ｄ． ２ｎ２ ＋ １

解析 通過觀察知，第１個圖案有５枚棋子；第２個圖案有１１枚棋子，即增加了６枚；第３個圖案有１７枚棋子，即又增加了６枚；所以第ｎ個圖案有６ｎ ＋ （５ － ６） ＝ （６ｎ － １）枚棋子． 答案選Ｃ.

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養學生的化歸能力．上題改變了圖形，看似較復雜，但仔細分析，其規律與課本題是類似的，即第ｎ個圖形需用的棋子數 ＝ 每次增加的棋子數 × ｎ ＋ （原圖形棋子數 － 每次增加的棋子數）．目的２，是運用變式教學，培養學生思維的深刻性. 注意從事物之間的聯系的矛盾上來理解事物的本質，在一定程度上可克服和減少思維中的絕對化而呈現的思維僵化及思維惰性. 教師通過不斷變換命題的條件，引申拓廣，產生一個個既類似又有區別的問題，使學生產生濃厚的興趣，培養了思維的深刻性.

變式４ 圖形更復雜，需創新應用

例6 如圖１０所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第n（n是大于０的整數）個圖形需要黑色棋子的個數是．

解析 第１個圖形是三角形，它只有三個頂點上有黑色棋子，棋子的個數共３個；第２個圖形是四邊形，不僅四個頂點處有黑色棋子，邊上還有（每邊上各增加１個），棋子的個數是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４；第３個圖形是五邊形，不僅五個頂點處有黑色棋子，邊上還有（每邊上各增加２個），黑色棋子的個數是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５.

即規律如下：

第１個圖形黑色棋子的個數是３ ＝ １ × ３，

第２個圖形黑色棋子的個數是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４，

第３個圖形黑色棋子的個數是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５，

……

∴第ｎ個圖形黑色棋子的個數是ｎ（ｎ ＋ ２）.

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養學生的化歸能力. 本題圖形更加復雜些，其解題方法及規律與課本題類似，但又不盡相同，需要在原有方法、規律的基礎上進行進一步地探索、創新．目的２，是運用變式教學，培養思維的創造性. 著名的數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個. ”數學教學中由一個基本問題出發，運用類比、聯想、特殊化和一般化的思維方法，探索問題的發展變化，可使我們發現問題的本質. 因此，我們可以運用變式教學，讓學生克服思維的心理定式，變中求進，進中求通，拓展學生的創新空間．

此案例，本人在班上實際教學時效果很好，學生學習興趣很高，積極參與，課堂很活躍．開展變式教學，有利于學生對數學知識與方法的化歸，達到以不變應萬變的目的. 同時，也有利于學生對實際問題的動態處理，克服思維和心理定式，實現創新目標. 總而言之，運用變式教學可以達到舉一反三的功效，從而提高教學效率．