培養問題意識 提升探究能力

倪小利

一、教學背景

傳統的數學教學中，教師注重的是培養學生的“問題解決”能力，而忽略了學生提出問題、探究問題能力的培養. 愛因斯坦曾說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要，因為提出一個問題更需要創造性的想象力. ”因此，教師不僅要教會學生解決問題的方法，更要教會學生提出問題、分析問題、解決問題的各項能力.

但問題從哪里來？從教師根據教學設計而來，從生活中體驗而來，更重要的是從學生自身的求知需求而來. 由貴州師范大學呂傳漢、汪秉彝兩位教授主持的中小學數學“情境——問題”教學模式，就是以數學情境為基礎，以數學問題為紐帶的教學. 即創設一個合適、有趣的情境，引導學生提出問題，通過師生互動、質疑探究，采取提出問題和解決問題齊頭并進，產生“情境——問題——解決——應用”的學習鏈，來拓展學生的思維和創新能力的培養，這與新課標所倡導的理念是完全一致的. 因此筆者在平常的教學中盡量嘗試讓學生發現問題、提出問題，促使他們更為積極、主動地探索下去，從而拓展學生思維，培養其創新能力. 下面是筆者在九年級復習階段的一次教學嘗試.

二、教學實錄

１. 問題提出，誘發思考

問題：如圖１，有一個長方體，它的長是４，寬是３，高是５，在Ａ處有一只螞蟻，它想吃到Ｃ１處的食物，沿著表面需要爬行的最短路程是多少？

問題提出后，學生們紛紛開始思考、計算，不一會兒，有幾名學生舉手了.

生１：答案是. 方法是將平面ＡＢＢ１Ａ１和平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１攤平成一個平面（如圖２），則對角線Ａ′Ｃ１的長為所求，由勾股定理，得Ａ′Ｃ１ ＝＝ .

生２：我的答案是. 方法是將平面ＡＢＣＤ和平面ＢＣＣ１Ｂ１攤平成一個平面（如圖３），則對角線ＡＣ′的長為所求，同樣由勾股定理可以求得. 因為 ＞ ，所以我想我的答案肯定不是最短的.

師：還有比這更短的路程嗎？

（同學們陷入了思考中，隔一會兒，突然一同學激動地站起來. ）

生３：他們兩個的答案都是錯誤的.

師：為什么？

生３：（跑上講臺，遞上自己畫的圖請老師投影）這道題目應該分三種情況.

沿螞蟻所經過的三條棱，將長方體相應的側面剪開成如圖的三種圖（圖２、圖３、圖４），由勾股定理分別求得：

圖２：Ａ′Ｃ１ =＝ ，

圖３： ＡＣ′ ＝＝ ，

圖４：Ａ″Ｃ１ ＝＝ .

∵＞＞ ，

∴ 螞蟻沿圖４的爬行路線路程最短，且最短路程為.

（同學們熱烈鼓掌，對他的回答表示非常滿意. ）

２. 自創情境，學生提問

師：老師出的題大家已經解決了，不過通過這道題，大家聯想到了什么？你還想知道哪方面的知識，并能提出哪些類似的問題？

（學生們經過短暫思考，逐一舉手提問，老師篩選出幾個符合本節課教學目標且具有一定研究價值的問題，這些問題經過老師適當修改，增減數據而成. ）

問題一：長方體→正方體．

問題二：長方體→圓錐．

題目：如圖５，圓錐的底面半徑為１，母線長為３，一只螞蟻從底面圓周上一點Ａ出發，沿圓錐側面爬行一圈再回到Ａ點. 問：螞蟻爬行的最短路程是多少？

問題三：長方體→圓柱．

題目：如圖６，一圓柱的底面周長為２４厘米，高ＢＤ為４厘米，ＢＣ是直徑，一只螞蟻從點Ｄ出發沿著圓柱的表面爬行到點Ｃ的最短路程大約是 （ ）.

Ａ． ６厘米Ｂ． １２厘米 Ｃ． １３厘米Ｄ． １６厘米

３. 師生互動，解決問題

問題一． 師：這個問題如何考慮？

生１：與長方體的解法一樣，不過因為是正方體，所以三種情況的答案是相等的.

師：對于螞蟻在正方體表面爬行，大家還能提出問題嗎？

生２：若Ｐ為ＣＣ１的中點（如圖７），求螞蟻從Ａ爬到Ｐ的最短路程是多少.

……

問題二． 師：請大家先思考.（老師邊巡視，邊指導個別同學，沒多久就有很多同學做好了，老師選了其中一名學生的答案，投影出來. ）

生１：把圓錐沿母線ＯＡ剪開，側面展開圖為一扇形（如圖８），ＡＡ１的長就是螞蟻爬行的最短路程. 由公式，可得∠ＡＯＡ１ ＝ １２０°，又∵ ＯＡ ＝ ３，∴ ＡＡ１ ＝ 3.

師：圖８中ＡＡ１最短的依據是什么？

生：（齊答）兩點之間，線段最短.

師：很好. 不過我想請一名同學把前面幾道題的一般解題思路小結一下.

生２：長方體中把折面攤平，圓錐中沿側面母線剪開，這樣就可以使不在同一平面內的線轉變為在同一平面內的線.

生３：（忽然站起來）老師，如果圓錐的側面展開圖變為圖９的樣子，那么繞側面一圈，再回到Ａ點，螞蟻爬行的最短路程又該怎么算？

“剛才的ＡＡ１不行了，那……”同學們頓時緊張起來，不過很快就有結果了.

生４：螞蟻從Ａ→Ｏ，再從Ｏ→Ａ１，這樣路程最短，即為母線長的２倍.

生５：老師，我想把問題二改一下. （老師點頭同意）如圖１０，點Ｂ為母線的中點，其他條件不變，那么螞蟻從Ａ爬到Ｂ的最短路程又是多少？

……

問題三． 師：圓柱怎么思考？請同學們算算.

（同學們忙于計算起來，一會兒就有人發言了. ）

生１：將圓柱沿ＢＤ剪開后攤平成如圖１１的形狀. 由題目得：ＢＢ１ ＝ ２４厘米，ＢＤ ＝ ４厘米，∴ ＢＣ ＝ １２厘米，由勾股定理得：ＣＤ ＝＝≈ １２．６５ ≈ １３（厘米），所以選Ｃ.

（是呀，我也選Ｃ，下面的同學在小聲議論著，沉浸在解出題后的喜悅之中. ）

師：答案真的是Ｃ嗎？

（同學們一片嘩然，不是選Ｃ還是什么？難道……）

生２：從Ｄ→Ｃ應該還有路線，題目是說在圓柱表面爬行，我想可以按從Ｄ→Ｂ→Ｃ爬行，即先爬高線，再爬直徑.

生３：你這個路線不能算的.

師：大家說這條路線可以嗎？（同學們大都點頭稱是. ）

生３：（不服氣地說）你這個路線不是直的，肯定比剛才計算的ＣＤ長.

師：那么大家算算看到底哪一個短？（很快就有人算好了，老師請她上黑板前板書. ）

生４：ＢＤ ＋ ＢＣ ＝ ４ ＋≈ １１．６４ ≈ １２（厘米），很顯然比剛才計算的ＣＤ短，所以選Ｂ.

這時大多數同學都計算好了，有的在看著黑板上的答案. “這個答案的確比剛才的短，我怎么想不到呀！”有同學激動地說.

師：答案選Ｂ是正確的. 那么請同學們再想一想在這個圖形中，螞蟻爬行的最短路程一定是先爬高線，再爬直徑嗎？即“高線＋直徑”是否一定最短？

生：不一定. （說不清為什么，一時教室里非常安靜. ）

師：如果把此題中的高ＢＤ的長改為１０厘米，其他條件不變，那么結果又會怎樣？

（不一會兒，結果就出來了. ）

生５：ＤＣ ＝≈ １５．６２（厘米），ＤＢ ＋ ＢＣ ＝ １０ ＋ ≈ １７．６４（厘米），所以側面展開圖的相應對角線ＤＣ的長最短.

師：通過這兩題的計算結果，大家想想你有什么發現？又有什么疑惑？

生６：有的時候是“側面展開圖的相應對角線長”最短，有的時候是“高線＋直徑”最短，但到底哪一個最短，要計算才知道.

生７：我覺得這個結果與圓柱的形狀有關. 矮胖形的是“高線 ＋ 直徑”最短，瘦長形的是“側面展開圖的相應對角線長”最短.

是的，是的，同學們小聲討論，臉上洋溢著喜色.

生８：老師，那有沒有兩條路線長相等的時候？

師：生８問得好！這個問題值得我們去研究，怎么思考呢？

教室里安靜極了，同學們再一次陷入了沉思之中……過了一會兒，

生８：可以從這兩條路線長相等的時候思考，不過我現在還沒算出來.

生９：可以設圓柱的底面半徑為ｒ，高線長為ｈ，根據兩條路線長相等，列出等量關系，就可解決問題.

師：那你能上來試試嗎？（生９勇敢地走上講臺，在黑板上解了起來．）

生９：設ＢＤ ＝ ｈ，ＢＣ ＝ ２ｒ．

（1）如圖６：設Ｄ→Ｂ→Ｃ的路線長為Ｓ１，則Ｓ１ ＝ h + 2r；

（2）如圖１１：設DＣ的長為Ｓ２，則Ｓ２ ＝ ；

當Ｓ１ ＝ Ｓ２時，即ｈ ＋ ２ｒ ＝ ，

∴ （ｈ ＋ ２ｒ）２ ＝ ｈ２ ＋ πｒ２，即４ｈｒ ＋ ４ｒ２ ＝ π２ｒ２.

∵ ｒ ≠ 0，∴ 4h + 4r = π2r，∴= .

當 = 時，Ｓ１ ＝ Ｓ２，即兩路線長相等.

教室里響起了熱烈的掌聲，同學們帶著欽佩、羨慕的眼光看著生９走下講臺．

生１０：我知道了.

（1）當 = 時，兩條路線一樣長；

（2）當 < 時，“側面展開圖相應的對角線長”最短；

（3）當 > 時，“高線 ＋ 直徑”最短.

同學們再次熱烈地鼓掌.

三、教學反思

本課例從一個問題情境出發，激發學生的求知欲望，在這個問題的解決過程中，引發新的情境，新的問題，這樣就形成“情境——問題”的學習鏈，而且很多問題都是學生自己提出，共同合作解決的，這樣更進一步激發了學生新的求知欲望，想繼續深入探究下去. 這一節課里，課堂氣氛非常寬松、融洽、和諧，學生是數學學習的主人，自己提出問題、分析問題、解決問題，而且學生從始至終都保持活躍的思維、高度的熱情、執著地探索. 這一課例的成功，得益于新課標的理念，得益于呂、汪教授“情境——問題”教學模式的理論指導，得益于自己實踐經驗的積累和課前充分的準備工作. 基于此，我有如下幾點看法.

１. 教師要轉變教學觀念

教師的角色應從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、合作者和共同研究者，在引導學生提出問題、分析問題、解決問題的同時，進一步激發學生自覺地探索數學問題，體現成功的樂趣.

在課堂氣氛上也應有所轉變. 由教師的“一言談”轉變為教師組織引導、學生合作探究的課堂環境，教師對學生的思維活動應減少干預，真正做到讓學生自主探究學習.

２. 情境的創設應具有多樣性

《數學課程標準》中指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有效的、富有挑戰性的，要切實開展有效學習，首先要調動學生的學習積極性，使他們產生對知識的渴望. ”情境創設的好，就等于這一節課已經成功了一半. 因此在情境的創設中應具有多樣性.

（1）趣味性. 有趣的情境能把同學們馬上吸引過來，同時展開熱烈地討論、高效地探索.

（2）誘導性. 誘導性的情境更能吸引學生，使其渴望馬上解決問題，從而發現并提出新的問題.

（3）爭論性. 爭論是一種使學生積極思維的情境. 本節案例中的情境就具有爭論性，許多學生很容易做錯，一下子就吸引了學生的眼球.

（4）應用性. 通過生活情境，使學生感覺到數學就在我們身邊，生活中處處有數學，把數學學習當成了一種樂趣、一種享受，從而學到有用的數學.

３. 加強問題意識培養，提升學生探究能力

問題是思維的出發點，有了問題才會去思考. 教育心理學理論啟示我們，在課堂教學上，充分運用動機原理，可以使學生的學習具有內驅力，學習將會取得良好的效果. 適當的問題能促使學生在課堂上主動思考、積極探索. 因此數學課堂應當以問題帶動教學，在解決教師提出問題的基礎上，積極引導學生學會提問、學會質疑和學會釋疑，培養學生打破砂鍋問到底的數學理性精神.

學生的問題意識越強，越能激發學生的求知探索欲望，探究能力也會得到顯著的提升. 長時間地實施數學“情境——問題”教學模式，對提高學生的數學素養和分析、觀察、探索、創新能力等方面都將會有較好的效果，從而有力地促進基礎數學課程改革的發展.

【參考文獻】

［１］呂傳漢，汪秉彝．再論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習．數學教育學報，２００２，１１（４）：７４.

［２］馬秋霞．培養學生提出問題能力的一次嘗試．中學數學教育（初中版），２００６（１０）：１３－１４．

［３］徐瑞先．老師，這個答案為什么錯了．中小學數學（中學版），２００７（３）：３１-３２.