淺析數學思想在初中數學教學中的運用

譚劍林

縱觀整個數學發展的歷史，我們可以發現任何一個新的概念的提出，一個新的數學分支的誕生，都與數學思想方法的創新或突破分不開. 因此，要想學好數學就必須對數學的本質內涵有所了解，不僅知其然，更要知其所以然. 同時“新課標”也強調我們教學的目的是培養具有數學素養的人才，而不是僅僅會套公式解題的人. 因此，在初中數學教學過程中，必須把數學思想滲入到其中.

一、數學思想的內涵

所謂數學思想就是指現實世界的空間形式和數量關系反應到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，是對數學事實與數學理論的本質認識，是對數學具體內容的提煉與升華. 在初中教學中一般包括：分類思想、集合思想、數形結合思想、化歸思想、整體思想等.雖然數學思想很多，但終究都是為教學服務，為學生正在掌握數學、形成數學思維服務的. 從這個角度來說，我們可以把所有能夠增強學生學習理解和掌握程度的方法統稱為數學思想.

二、數學思想在教學中的運用

數學思想比較多，在具體的教學中，如何有效地把數學思想滲透到教學實踐中，是實施數學思想教學的關鍵. 同時我們還應該注意到，我們如今的數學知識已經經過了長久的發展，具有一定綜合性與系統性，因此，不僅要注重單個數學思想的滲透，更應該注重多種數學思想共同滲透，增強學生對知識點的掌握.

1． 數形結合思想在教學中的運用

正如著名數學家華羅庚所說：數與形，本是相倚依；數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合，直觀又入微. 在初中數學階段，數軸和直角坐標系是我們研究數形結合時的兩個比較重要的工具，貫穿整個初中數學，應該盡可能地運用到平時的教學之中．

（１）數軸的運用

在學生們剛剛開始學習一元一次函數的定義域時，最容易犯的錯誤就是存在幾個區域時，如何進行取舍. 老師在授課時，就要教會學生如何在數軸上進行表示. 比如：函數y =+ 中自變量ｘ的取值范圍是. 一般學生都知道要使函數有意義，必須滿足的條件是２ + ｘ ≥ ０且ｘ － ３ ≠ ０，解之得ｘ ≤ －２，且ｘ ≠ ３. 學生之所以出現這種問題的原因在于學生剛剛接觸到區間，知識點的掌握還不是太熟練，僅僅看到數字很難理清它們之間的關系，如果利用數軸就很容易找到它們之間的關系：ｘ ≤ －２與ｘ ≠ ３之間沒有任何關系，從而舍棄ｘ ≠ ３.

（２）直角坐標系的運用

在學習函數的變換時，由于學生剛剛學習過點在直角坐標系中的移動，對于變換過程中加減號的運用往往會混淆在一起. 如果直接告訴學生，圖像在ｙ軸上上移用減號、下移用加號，在ｘ軸上右移用減號、左移用加號，那么學生就很難理清它們之間的關系. 在授課時，首先讓學生們畫出函數ｙ ＝ ２ｘ ＋ ３，ｙ ＝ ２（ｘ ＋ １） ＋ ３和ｙ ＝ ２（ｘ － １） ＋ ３的圖像，比較它們圖像之間的變化關系. 通過比較，學生發現ｙ ＝ ２（ｘ ＋ １） ＋ ３的圖像是把y = 2x + 3左移一個單位，ｙ ＝ ２（ｘ - １） ＋ ３的圖像是把y = 2x + 3右移一個單位. 然后讓學生進行總結，并且探究當ｙ 變化時，函數圖像如何變化. 通過學生自己的總結、假設、驗證，就會很容易發現在ｙ軸上的變化規律.

２． 整體思想在教學中的運用

整體思想是指用整體的眼光，把某些算式或圖形看成一個整體，在掌握已知和所求之間關聯的基礎上，進行有目的、有意識的整體處理來分析解決問題，該方法能夠避免對復雜過程的考慮.

比如下面一個例題，運用整體思想就可以避免繁瑣的計算過程. 例題：正方形的邊長為ａ，以各邊為直徑在正方形內畫半圓（如圖2），求所圍成的圖形的面積. 對于本題，如果采用分割的方法計算起來就比較復雜，但如果從整體上來考慮就會發現，每個陰影部分的面積相等、每個空白部分的面積也相等，就可以得出4x + 4y = a2，2x + y = πa2，如此解題就會使解題過程大為簡化.

再如在解方程組1998x + 1996y = 1995，1996x + 1998y = 1999時，不管選用帶入法還是加減法計算都相當復雜，這時如果把方程組看成一個整體就會發現，兩式相加３９９４ｘ ＋ ３９９４ｙ ＝ ３９９４，化簡后得到ｘ ＋ ｙ ＝ １.

乍一看上面講的好像是解題技巧，其實不僅僅是解題技巧那么簡單，更體現了一種數學思想. 在教育孩子時，孩子對這種處理問題的方法往往記憶更加深刻，甚至影響到學生的一生.

3． 數學思想在教學中的綜合運用

在教學過程中，更多的時候是綜合地運用多種數學思想. 通過多種數學思想的運用能夠讓學生更全面、更深刻的理解教學內容. 以下面的例題為例進行探討：|x - 3| ≥ 3 -x，求ｘ的取值范圍.

在講解時，可以運用絕對值的概念進行分類討論. 首先按照x - 3 ≥ ０和x - 3 ＜ ０兩種情況. 當x - 3大于等于０時，原式可化為ｘ － ３ ≥ ３ － ｘ，解之得ｘ ≥ ３；當x - 3小于０時，原式可化為３ － ｘ ≥ ３ － ｘ，該不等式的解為全體實數. 從而得出該不等式的解為ｘ ≥ ３. 該方法雖然可以解出結果，但比較復雜，而且非常容易出錯. 同樣該不等式還可以用等量代換進行解題，如設ｔ ＝ ｘ － ３，則３ － ｘ ＝ －ｔ，原式變形為|ｔ| ≥ -t ，根據去絕對值符號的性質,可得ｔ ≥ 0，即ｘ － ３ ≥ ０，從而得出ｘ ≥ ３. 通過一題多解，不僅可以讓學生掌握知識，更可以開拓學生的眼界，加深學生對知識的認識，培養學生的數學思維.

毫無疑問，在教學中滲入數學思想，可以增加學生對數學的認識，重構學生對數學的認知結構，培養學生的數學素養. 然而由于數學思想的抽象性，使許多老師避而不談. 希望通過本文能夠為數學思想運用到初中數學的教學之中提供一些參考.