聯想:為數學思維插上翅膀

呂利根

【摘要】 傳統數學教學比較重視學生雙基的落實與理性思維的培養，而忽視了學生的感性經驗的培養． 本文結合教學實例，通過課前指導學生預習、創設情景、提問設計等方法，引導學生主動參與，在課堂教學中培養學生的數學聯想能力，通過感性能力的提升促進理性思維的形成與數學能力的綜合培養．

【關鍵詞】 初中數學；聯想能力；思維；教學有效性

我們常常說“學習要觸類旁通，舉一反三”，可是如何讓學生一通而百通呢？這些能力僅靠正統的思維訓練就可以全部解決嗎？其實現代社會對未來公民的數學能力提出了更豐富的內涵與更高的要求：數學能力還包括實驗觀察、信息獲取、數據處理、模式抽象等等． 正如哲學家康德所說：“每當理智缺乏靠論證的思路時，相似思考（聯想）往往指導我前進． ”新課程標準下，特別強調合情推理以及直覺、聯想、頓悟等非理性的形式所具有的創造性． 教師應從學生的知識背景出發，幫助他們在自主探索的過程中，積極地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略． 近年來，筆者在課改新理念下，嘗試進行課堂教學中學生數學聯想能力的培養的有效研究，作了一定的探索與實踐．

一、“數學聯想”的內涵把握

世界上的事物都是相互聯系、相互影響的，聯系導致了聯想． 聯想豐富是思維靈活的基礎，其特征是思維靈活多變，不受思維定式限制，善于從多角度、多方面去觀察和思考問題，從而尋求正確的解答． 聯想是一種創造性思維的基本條件，聯想的結果往往是能從給定的信息中產生新的信息、發現新的方法、尋找新的規律、探索新的科學． 聯想能力就是依據原有知識經驗或生活經驗，能夠迅速從大腦中搜索出來，進行有效的比較選擇，進而重現或重新組合，以達到解決問題的能力．

二、培養數學聯想能力的策略微探

課堂是素質教育的主陣地． 因此，我們必須認真策劃、精心預設，引導學生在已有的數學活動經驗的基礎上動口說，動手做，動手寫，大膽聯想，在潛移默化中培養學生的數學能力．

（一）借有效預習為聯想提供基本素材

眾所周知，做作業的效果取決于課堂學習的效果，而聽課效果一定程度上取決于課前預習． 然而，有不少老師是反對課前預習的，其理由是學生會失去新課教學的新鮮感． 但是聞名全國的杜瑯口教學模式卻十分重視預習，而且效果明顯． 筆者認為，關鍵是課前教師對預習作業的布置． 筆者對數學課的預習要求明確，預習問題有層次，預習作業有反饋，讓學生的預習成為教學總體構思的一個有機組成部分，對學生的數學課堂聯系的實施作了有效鋪墊．

比如學習“一次函數的圖像”時，已有的知識經驗是正比例函數的圖像、性質以及實際生活中一次方程的運用，因此我布置預習作業：１． 復習正比例函數y = 3x與y = -3x的圖像及其性質；２． 體驗數形結合的思想方法，然后再通過閱讀該節內容嘗試完成課后的練習．這樣就較好地銜接到一次函數的學習，為課堂教學時采用類比方法探究一次函數y = 3x + 2與y = -3x - 2的圖像及其性質埋下伏筆．

實踐證明，預習應該在教師引領下讓學生自學——認真地復習前提知識，細致地閱讀新課內容，嘗試性地完成配套的練習題，從而不斷提高學生的數學活動經驗，培養學生的課堂經驗，促成課堂有效思維的生成．

（二）用生活化情景為聯想提供形象內容

數學源于生活，生活中處處有數學，新課程強調了學生應用數學、解決實際問題的能力． 在數學課堂學習中，為了有利于學生進行大膽的聯想，教師應該通過創設生活化的多姿多彩的問題來激活學生的生活感悟與知識存貯，激發學生的聯想動力，激發他們的創造智慧．

有位老師教學“分式基本性質”時是這樣引入課題的：多媒體播放20１０年紹興世界合唱比賽的視頻宣傳片，讓學生欣賞古城紹興的古樸與人文美，然后讓學生齊聲朗讀“數學因簡約、對稱、和諧而美”切入正題． 緊接著出示紹興名人廣場的圓盤照片，設計問題：假設圓盤的半徑為R，某種油漆每千克可漆■R3個平方單位，則漆好這個圓盤大約需要多少漆？在得出答案■后，讓學生根據“簡約、對稱、和諧”這一“審美”標準來審視該分式的和諧性，從而引出用來“美化”這些分式的必需知識——分式的基本性質，揭示課題．

又如學習“有理數的乘方”時，筆者講述一個故事：從前，有個聰明人，他發明了國際象棋，獻給了敬愛的國王． 國王很喜歡，為了對他表示感激，國王答應滿足這個人所提出的一個要求． 這個人說：“就在這個棋盤上放一些米粒吧，第１格放１粒米，第２格放２粒米，第３格放４粒米，依此類推，一直到６４格． ”國王哈哈大笑，“你真傻，只要這么一些米． ”同學們，你們覺得國王能拿出這些米嗎？這個故事一下子引起了大家的興趣，激起了大家的認知沖突，對課堂聯系極為有利．

（三）通過精心設計提問引導聯想展開

數學的發展本身就充滿著觀察、實驗、猜想、驗證等形式多樣的過程，這些過程不可能沒有聯想． 因此，我們在課堂教學中必須體現數學訓練思維價值，為學生的聯想提供足夠的條件． 只有學生親身經歷聯想的過程，才能深刻認識和理解概念的價值，從中掌握豐富的數學思想方法，提高數學學習能力．

在課堂教學中，聯想的積極性如何，聯想的深度如何，廣度怎樣等都取決于課堂提問． 所以數學教師要精心設計提問． （１）設疑式： 如有一次在一位教師問學生如何解方程時， 學生的回答就是照本宣科：先去分母，再去括號，再移項……這時，教師提問： 能否與書本上去括號的順序相反呢？這樣做的依據是什么？不但更新了解題方法， 而且培養了學生的創造潛能．

（２）遞進式：這類提問是通過分層逼近最終答案的方法，最終到達解決問題的目的． 有位老師引出三個等分數■ = ■ = ■，然后提出問題：① 根據你的感受，你覺得哪個分數最具“簡約”之美？ ②約分的依據是什么？③試用圖形的面積來解釋■ = ■.

（３）刨根式：１００萬步對你的步距而言有多少米？多少千米？相當于河橋到哪里的距離？以７０公里／小時的速度要走多少時間？如此讓學生樹立具體形象來感知大數，有利于聯想的積極開展．

（４）擴展式：這是指把現在所學內容與先前內容聯系提問的方法，能夠起到溫故知新、融會貫通的作用． 如有位老師引出三個等分數：■ = ■ = ■就提出問題：① 根據我們感受，你覺得，哪個分數最具“簡約”之美？② 請問約分的依據是什么？③ 試用圖形的面積來解釋：■ = ■？

（５）對比式：對比式可以誘導學生通過比較發現有關思維形貌的共性與區別，加深理解，有利于以后的聯想． 比如有個教師讓學生列出矩形與菱形的性質，然后再導入正方形的教學．

（四）通過課堂滲透落實聯想過程

解決問題意味著什么？有人說解決問題就意味著把所要解決的問題轉化若干個已知問題． 而問題的轉化依賴于豐富的聯想，是聯想將其移植轉化成與之有關系的另一問題． 可以說，聯想是思維探索的翅膀． 因此，我們在課堂的教學中，必須指導學生掌握聯想的一些方法．

（１）相關聯想，類似于要開門了去找鑰匙． 比如讓學生觀察圖形或模型，讓學生聯想平行四邊形的全部本質屬性：對邊分別平行，對邊對應相等，對角相等……證明線段相等時，就讓學生聯想所有有關線段相等的定理、性質，使學生能有意識地去聯想，進而選擇相關定理來解決問題．

（２）類比聯想，它為人類思維提供了便捷． 比如我們在得到分式的基本性質時，可以讓學生通過分一個西瓜來理解分數的基本性質，這時又可以讓學生通過畫圖來表示■ = ■，從而歸納得到分式的基本性質． 這樣給學生以心靈的震撼：數學原來就在我們的身邊． 再如平面幾何中全等三角形的判定和性質與相似三角形的判定和性質，都可以通過類比來教學． 這樣“一個理念把關，所有問題都搞定”，有助于培養學生思維的發散性、創造性，最大程度地實現教學有效性．

（３）形數聯想，我們要引導學生用“數”來鞏固與研究“形”，利用“形”鞏固研究“數”． 比如我們學習函數時，一定要強調學生記性質、想圖形，畫圖形、想性質. 對于不等式、方程一類的問題也要強調學生形數聯想. 又如在浙教版七年級下冊“用平方差公式分解因式”這塊內容時，教師可以用一張如圖的紙剪拼成長方形，你認為應該怎樣剪？你能給出數學解釋嗎？（４）新舊聯想，數學學習中必須注意新舊知識之間的聯系，只有溫故才能知新． 比如在學習七年級下冊的同底數冪的除法運算時，應與同底數冪的乘法進行本質上的區別，這種平行的新舊知識對比，加深了對新知識的認識．

（五）利用課后小結拓展聯想

課堂小結是教師在課堂終結階段引導學生對課堂三維目標的再認識、再升華的教學行為，也是知識的延伸與后續學習的基礎準備．

如“二元一次方程組的解”的小結：如何用比較恰當的方法找出方程組的解？二元一次方程組的解一定是組成這個方程組的兩個方程的公共解嗎？寫出一個解是x = 1，y = 2的二元一次方程組，你能寫出幾個？以上從多個角度提出了有關二元一次方程組的解的問題，使學生更深地理解二元一次方程組之間的相互關系，從而培養聯想能力，實現課堂效果的升華．

另外，教師可以組織課題學習，讓學生將課內研究的過程與結果進一步分析思考、歸納整理，分小組寫出課題研究報告，展示學生的綜合能力和創新意識，同時也培養了學生的合作能力．

總之，教師要課前精心備課，課上遵循思維規律，課后加強反思；學生則要預習新課并完成節后課內作業，認真參與課堂學習活動，課后通過復習來完成書面與實踐作業． 教學需要師生共同努力來不斷豐富學生的聯想素材，提升學生的聯想策略，豐富學生的數學活動經驗，才能有利于學生主動觀察、實驗、猜測、推理及互助交流等，真正以聯想為媒介，讓學生將生活問題抽象成數學模型，最終才能有效地促使學生數學能力的提高．

【參考文獻】

［１］中華人民共和國教育部.《數學課程標準解讀》.

［2］特級教師論課堂教學改革.浙江教育出版社.

［3］沈順良.調控過程，精心組織.中學數學教學參考，2007（12） .