分類例談韋達定理的運用

王新艷

【摘要】韋達定理揭示了一元二次方程的根與系數之間的關系，歷來是中考命題的熱點，筆者從中挑選了幾道有代表性的中考試題，分類例談它的運用.

【關鍵詞】韋達定理；運用；中考試題オ

一、已知方程一根，求另一根及未知系數

例1 （2011·江蘇鎮江常州）已知關于x的方程x2+mx-6=0的一個根為2，則m=，另一個根是.

解析 設另一根為x1，由韋達定理得2+x1=-m，2·x1=-6，∴x1=-3，m=1.

總結 也可以將x=2代入原方程，先求出m的值，再求出另一根，但利用韋達定理更為簡便.

二、不解方程，求與兩根有關的代數式的值

例2 （2011·山東德州）若x1，x2是方程x2+x-1=0的兩個根，則x21+x22=.

解析 ∵x1，x2是方程x2+x-1=0的兩個根，

∴x1+x2=-1，x1·x2=-1，

∴x21+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=（-1）2-2×（-1）=1+2=3.

歸納 此類問題的關鍵是將所求的代數式進行恒等變形，化為含有x1+x2與x1·x2的形式，然后把x1+x2與﹛1·獂2的值整體代入計算.

三、已知兩根的關系，求未知系數

例3 （2011·湖北孝感）已知關于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2.

（1）求k的取值范圍；

（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.

解析 （1）由方程有兩個實數根，可得Δ=b2-4ac=4（k-1）2-4k2≥0，解得k≤1[]2.

（2）依據題意可得x1+x2=2（k-1），由（1）可知k≤1[]2，∴2（k-1）＜0，∴-2（k-1）=k2-1，解得k1=1（舍去），k2=-3，∴k的值是-3.

歸納 將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種經常使用的解題方法.注意k的取值范圍（滿足Δ≥0）是正確解答的關鍵.

四、求作一元二次方程

例4 （2002·四川達州）已知一元二次方程2x2+3x-5=0，不解方程，求作以該方程的兩根的倒數為根的一元二次方程.

解析 設方程的兩根為x1，x2，則所求的方程的兩根為1[]x1和1[]x2.

由韋達定理得x1+x2=-3[]2，x1·x2=-5[]2.

∴1[]x1+1[]x2=x1+x2[]x1x2=3[]5,1[]x1·1[]x2=1[]x1x2=-2[]5，

∴所求方程為x2-3[]5x-2[]5=0.

歸納 求作新一元二次方程，先求出新方程的兩根之和p與兩根之積q，則所求方程為x2-px+q=0.

五、已知兩數和與兩數積求這兩個數（解二元二次方┏套椋┆

例5 （2005·廣州）解方程組x+y=3,

xy=-10.

解析 由題意得x,y是方程z2-3z-10=0的兩根，解得z1=5，z2=-2.

所以原方程組的解為x1=5,

y1=-2，x2=-2,

y2=5.

總結 如果x,y滿足x+y=p，xy=q，則x，y一定是方程z2-pz+q=0的兩個實數根，掌握這個結論，有時會對解題有幫助的.

六、求一元二次方程根的分布情況

例6 （2002·呼和浩特）已知方程（x-1）（x-2）=k2，其中k為實數且k≠0，不解方程證明：

（1）這個方程有兩個不相等的實數根；

（2）方程的一個根＞1，另一個根＜1.

證明 （1）把（x-1）（x-2）=k2化簡，得

x2-3x+2-k2=0，

∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（2-k2）=1+4k2＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根.

（2）設方程有兩個根為x1和x2，

∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=2-k2-3+1=-k2.

∵k為實數且k≠0，∴-k2＜0，因此方程的一個根大于1，另一個根小于1.

總結 （1）判斷一元二次方程根的情況取決于判別式Δ=b2-4ac的符號.（2）判斷方程的一個根＞1，另一個根＜1，轉化為（x1-1）（x2-1）＜0，是解題的關鍵.

韋達定理的運用十分廣泛，韋達定理可以和解三角形、幾何、二次函數相結合，由于篇幅局限，筆者僅僅粗淺地談了其中的六個運用，筆者只是拋磚引玉，文中有不當之處，歡迎各位同行批評指正.