同循合數

何鴻猷

循合數除1以外的所有因數可以表示成1+nr；質數除2，3外都可以表示成(1+6r)和(5+6r)，因此同循合數中的因數又可以表示成（1+gr）和（m+gr），以利分解.

【關鍵詞】同循合數；全1數オ

什么是同循合數？以不含因數2，5的合數為分母的真分數化為循環小數為純循環小數.不含因數2，5的合數可分為：

(1)同因合數：如3瑀(r大于1)，（設j為循環節位數5個字，n為循環節數字，即j=n，以下同）1[]3瑀，j=3﹔-2.設P為除2,3,5以外的所有質數，再設1[]p,j=np瑀（r大于1)為同因合數，1[]p瑀，j=p﹔-1×n.

（2)純異因合數：如3×11×37×7×13=111111.73×137=10001.

(3)混異因合數：如3×3×37×333667=111111111.7×7×11×11=5929.

11×11×23×4093×8779=100000000001.

將混異因合數中的同因合數視為一個因數，純異因合數與混異因合數又通稱異因合數.以異因合數為分母的真分數化為循環小數，循環節的位數是其中各因數循環節位數的最小公倍數.如：3×11×37×7×13=111111，1[]3=0.3·,猨=1.1[]11=0.0·9·，j=2.1[]37=0.0·27·，j=3.1[]7=0.1·42857·，﹋=6.1[]13=0.0·76923·，j=6.1,2,3,6,6的最小公倍數是6.1[]111111=0.0·00009·,猨=6.再如：7×7×11×11=1[]72×1[]112=5929，1[]72，﹋=72-1×6=42.

1[]112，j=112-1×2=22.42和22的最小公倍數是42×11=462，1[]5929，j=462.

在純異因合數中，有這樣一種合數，除因數1外，其他所有因數、質因數分別為分母的真分數化為循環小數，循環節的位數都完全相等，具有這一特點的合數簡稱同循合數.如11111=41×271,1[]11111=0.0·0009·,1[]41=0.0·2439·,1[]271=0.0·0369·.11111是同循合數.

同循合數還可以作如下理解：即每一個自然數都有質數為分母的真分數化為循環小數，循環節位數與之對應，有唯一一個的，也有兩個或兩個以上的，凡兩個以上與某個自然數對應的所有質數的積就是同循合數.

1[]3 j=1，1[]11 j=2，1[]37 j=3，1[]101 j=4，1[]333667 j=9，1[]9091 j=10，1[]9901 j=12，1[]909091 j=14.以上對應例子質數為分母都是唯一的，如再有第二個，它一定是合數.

11111=41×271，1[]41 j=5，1[]271 j=5,91=7×13，1[]7，﹋=6,1[]13,j=6.

1111111111111=53×79×265371653，1[]53 j=13，1[]79 j=13，1[]265371653 j=13.

826446281=23×4093×8779，1[]23 j=22，1[]4093 j=22，1[]8779 j=22.

10000000000000001=353×449×641×1409×69857，1[]353 j=32,1[]449 j=32，1[]641 j=32，1[]1409 j=32，1[]69857 ﹋=32，以上對應例子質數為分母都是兩個或兩個以上，11111，91，1111111111111，826446281，10000000000000001等都是同循合數，對應質數在三個以上的部分質數的積，可稱為部分同循合數以示區別.

同循合數寓于n位全1數中，（為敘述方便特稱大于1位各位都是數碼1的數為n位全1數.為書寫方便特引入記號《n》表示n位全1數，如：《21》表示21位全1數）《n》不含因數2，5，以《n》為分母的真分數化為循環小數，為純循環小數，且循環節的位數等于n位.下面來推導它：

1[]7=0.1·42857·.

1[]7×142857=1[]999999=0.0·00001·.

1[]111111=0.0·00009·，j=6.

以合數為分母的真分數化為循環小數，其循環節位數是其中各因數循環節位數的最小公倍數，所以在《n》中，必有至少一個甚至多個質數以它們為分母的真分數化為循環小數，j=n.這也可以從另一個角度證明質數有無窮多.

全1數可分為質數位全1數與合數位全1數，質數位全1數自身如不是質數，除《3》外，它便是同循合數；合數位全1數，約去其中小于n位的全1數因數（約去其中循環節小于n位的因數）后，如果不是質數便也是同循合數.在約分時要注意既不能重約也不能少約.如《42》有全1數因數《21》、《2》、《3》、《14》、《6》、《7》，若先約去《21》，同時也就約去了《7》和《3》，如再約《14》時，必須先從《14》中約去《7》；《14》÷《7》=10000001；10000001=11×909091，最后再約《6》時必須從111111÷111÷11=91，如此可以避免重約，但還要注意少約，因為《42》是混異因合數，其中有因數72，1[]72，j=72-1×6=42,約去了91，91=7×13，只約去了一個7，還要再約去一個7，這一點要特別注意.全1數中有混異因合數，如：《9r》、《22r》、《42r》、《78r》……

《42》÷《21》÷1000001÷91÷7=156985855573.

156985855573=127×2689×459691.

1[]127 j=42，1[]2689 j=42，1[]459691 j=42.

從n位全1數中得到的同循合數，循環節的位數是已知數，這樣同循合數中的因數除1外，其他因數質因數都可以表示成1+nr(n是循環節位數，r為自然數).質數除2,3外又都可以表示成6r+1或6r-1(1+6r或5+6r)，因此同循合數中的6r+1數，就可以表示成1+gr(g為n和6的最小公倍數)，同循合數中的6r-1數就可以表示成m+gr(m為m÷n……1,

m÷6……5中最小的數）.m可根據下列公式來求：若n=6r+1，m=4n+1.n=6r+2，m=2n+1.n=6r+4，m=n+1.n=6r+5,m=2n+1.n=3r,凡n=3r因數都是1+6r數.這樣求出的m和g是最基本的，根據需要，只要不超過質數本身(m+gr)+gx，(1+gr)+gy都不會影響因數的數值,g實際是同循合數與它的兩個因數之間共同因數的最小公倍數，如能判斷出三者還另有共同因數，則g就可以擴大.如《11》是6r-1數，n=11，m=23，g=66.(23+66x)(1+66y)=《11》.如判斷出兩個因數的尾數是9,那么(23+66)=89，(1+66×3)=199.這樣g又可以擴大5倍，66×5=330,（89+330x）（199+330y）=《11》.下面來征明質數除2,3外都可表示成6r+1或6r-1.將自然數依下表排列：

【1】[]【2】[]【3】[]【4】[]【5】[]【6】

1，2，3，4，5[]6[]7[]8[]9[]10

11[]12[]13[]14[]15[]16

[BH]17[]18[]19[]20[]21[]22

……[]……[]……[]……[]……[]……

（6r-1）[]6r[](6r+1)[](6r+2)[](6r+3)[](6r+4)

(6r-1)[]6r[](6r+1)[]2(3r+1)[]3(2r+1)[]2(3r+2)

【1】列和【3】列提不出公因數，【2】,【4】,【5】,【6】等列明顯是合數.所以質數除2,3外，均在【1】列和【3】列中，這就證明了質數除2,3外都可以表示成6r+1或6r-1.而且（6r+1）(6r+1)，積仍可以表示成6r+1；（6r-1)(6r-1)，積可以表示成6r+1；(6r+1)(6r-1),積可以表示成6r-1.【1】和【3】相互的積，仍在【1】和【3】數列之中.

質因數分6r+1數和6r-1數且尾數分別是1,3,7,9.﹋=5r的質因數有兩種情況，即：1+gr和m+gr且尾數都是1.j=3r的，它的因數都是6r+1數，且尾數可能是1,3,7,9.循環節的位數是3和5的最小公倍數即15的倍數時，只有一種情況，即：尾數是1的6r+1數.其他的則可能出現八種情況，即：6r+1數和6r-1數的尾數分別都可能是1,3,7,9.除j=5r外，其他的前一部分只要尾數確定了g就可以擴大5倍.已知循環節的位數，欲求對應的質數，就去分解對應的全1數.